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2차 방정식 x²=1은 유리수의 범위에서 해를 갖고, 2차 방정식 x²=2는 유리수의 범위에서는 해를 갖지 않지만 실수의 범위에서는 해를 갖는다. 그러나 2차 방정식 x²=-1은 실수의 범위에서도 해를 갖지 않는다. 따라서 이 방정식이 해를 갖도록 하기 위해서는 수의 범위를 확장해야 한다. 제곱하여 -1이 되는 새로운 수를 기호 i로 나타내고, i²=-1(i=)이다. 이때 i를 허수단위라고 한다. 실수와 허수단위 i를 결합하여 임의의 실수 a,b에 대하여 a＋bi의 꼴로 나타내는 수를 복소수라 한다.

복소수의 탄생

이탈리아 수학자 카르다노(Girolamo Cardano, 1501~1576)가 3차 방정식의 근의 공식을 구하는 과정에서 제곱해서 음수가 되어야 하는 경우가 생겼고, 제곱해서 음수가 되는 어떤 수가 있다고 가정하고 계산하게 되었다. 그렇다고 해서 카르다노가 복소수 개념을 이해하고 정리한 것은 아니었다.

카르다노는 『아르스 마그나(위대한 기본)』라는 책에서 3차 방정식의 근의 공식에 대해 다루며 음의 제곱근을 수처럼 다루었다. 아직 음수도 수로 인정하지 않던 유럽에서는 대단한 일이었으나 카르다노는 이 수를 진짜 수로 생각지 않고 단지 ‘계산 중간에 나타나는 형식적인 조작’이라고 취급했으며, 한동안 허수는 ‘말도 안 되는 수’로 생각되었다.

17세기 프랑스의 수학자 데카르트(Rene Descartes, 1596~1650)는 좌표평면에 나타낼 수 없는 음수의 제곱근에게 ‘허수(虛數, nombre imaginaire)’라는 이름을 붙여 주었는데 ‘상상의 수’ , ‘가짜 수’를 의미한다. 이것이 허수(imaginary number)의 어원이 되었다.

스위스 수학자 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)는 제곱하여 -1이 되는 수를 문자i^각주1) 로 나타내었고, 독일의 수학자 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855)는 복소수의 기하학적 덧셈과 곱셈을 풀어내었고 데카르트가 사용한 ‘허수’라는 용어 대신에 복소수라는 새로운 용어를 확립했다. 당시에는 복소수를 쓸데없는 수라고 생각했지만 그 후 3차 ・ 4차 방정식의 일반적인 해법을 구하기 위한 기초가 되었고, 현대에 와서는 양자역학, 전자공학 등에서 꼭 필요한 수가 되었다.

처음 허수의 개념을 사용한 오일러는 허수를 사용한 ‘오일러 공식’을 만들었고, 이 공식은 회전과 깊은 관계가 있는데, 이를 이용하여 2차원 회전이나 파동을 간결하게 할 수 있다. 그래서 교류와 같은 파동도 설명할 수 있고, 나아가 푸리에 정리를 통해 임의의 파동도 설명할 수 있게 되었다. FFT(Fast Fourier Transform)^각주2) 는 잡음 제거, 앰프 기술, 음성 및 그림 압축 등에 사용되는 기술이다. 이것이 가능한 이유는 각 주파수별로 신호를 쪼개서 나눌 수 있기 때문이다.

푸리에 변환 기술을 이용해서 각 주파수별로 신호를 나누면 필요한 데이터와 불필요한 데이터를 구분해내기 쉽다. 예를 들어 잡음의 경우가 일정한 패턴으로 나타나므로 해당하는 패턴의 주파수를 0으로 클리핑하면 잡음이 제거된다. 또한 각 주파수 중 특정 일부 주파수만 키우면 특정 악기 소리를 키우거나 특정 패턴을 강조할 수 있다. 각 주파수 중 잡음과 같이 특정 일부 주파수를 아예 지워버리고 저장하면 데이터의 양이 줄어들어서 압축(JPG, MP3, MPEG)에도 사용할 수 있다.