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이 평균에서는 무한 개의 점들이 고려되므로 무한합을 나타내는 적분으로 평균을 구해야 한다. 물리적 상태에서 조화함수는 온도나 전하분포 같은 것이 각 점에 일정하도록 만드는 평형조건들을 묘사한다. 이 함수는 최초의 정의와 동치임을 증명할 수 있는 조건인 라플라스 방정식을 만족하는 함수로도 정의할 수 있다.

조화함수에 의해 정의되는 곡면은 볼록도(convexity)가 0이므로 이 함수는 정의된 영역안에서는 최대값이나 최소값을 갖지 않는다는 중요한 성질을 갖는다. 조화함수는 해석적이다. 즉 이 함수는 무한히 미분가능하며, 멱급수라고 하는 무한 개의 항을 갖는 다항식으로 나타낼 수 있다.

구(球)조화함수는 3차원의 구좌표계를 중력장·자기장·전기장·유체운동으로 발생되는 장 등을 포함하는 3차원적 물리문제 연구에 사용할 때 발생한다. 이때 구좌표계란 공간의 한 점을 원점으로부터의 거리 r와 각 θ, φ로 나타낼 때나 천문학에서처럼 고도와 방위각으로 나타내는 좌표계이다.

구조화함수에는 2가지유형이 있다. 하나는 구 내부의 모든 점에서 값을 갖는 특수 n차 다항식인 입체구조화함수 R_n(x, y, z)이고, 다른 하나는 오직 구의 표면에서만 함수를 묘사하는 구면조화함수 S_n(θ, φ)이다.

이 두 조화함수는 R_n(x, y, z)=rⁿS_n(θ, φ)라는 관계를 가지므로 이 이론의 어려움은 구면조화함수를 결정하는 데 있다. 구면조화함수 S_n(θ, φ)는 두 함수의 곱으로 쓸 수 있는데, 하나는 exp(±imφ)이고(이때 m은 0 또는 양의 정수), 다른 하나는 θ에만 의존하는 더 복잡한 함수이다. θ에 의존하는 부분은 부르장드르 함수라고도 하며, 이 함수는 관련된 부르장드르 방정식이라는 미분방정식의 해이다. 라플라스 방정식의 모든 해는 입체 구조화함수의 합(무한합 포함)으로 쓸 수 있다.