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여기서 문장들 사이의 논리적 관계란 오로지 술어 또는 명사 표현이 그 특정한 의미나 개념적 내용과 무관하게 '모든', '어떤' 등 양화사(量化詞)에 의해 주어의 일정 범위에 할당되는 방식을 통해서만 성립하는 관계를 가리킨다.

이러한 술어는 질과 관계를 모두 포함할 수 있다. '함수계산'이라 불리는 고차형식체계에서 이 술어는 함수도 포함할 수 있다. 이때 함수란 그 안에 들어 있는 하나 또는 그 이상의 변항이 특정한 용어에 의해 대체될 때에만 확정된 진리값을 가지게 되는 '기준 표현'을 말한다. 술어계산은 문장연결사들('그리고', '만일……이라면', '또는' 등등)에 의해 연결되는 명제들을 따로 분석하지 않고 전체로서 다루는 명제계산과 구별된다.

전통적 삼단논법은 비록 충분하지는 않으나 술어논리의 가장 잘 알려진 예이다.

'모든 C는 B이고 어떤 B도 A가 아니다, 그러므로 어떤 C도 A가 아니다'와 같은 논증에서 두 전제가 참이면, C와 B에 의해 명시된 집합들 각각에 대해 술어 B와 A가 주연(周延)되는 방식에 의해 결론도 반드시 참이다. 예를 들어 만일 술어 A가 집합 B의 원소들 중 오직 하나에만 속한다면 결론은 거짓일 수도 있다. 즉 어떤 C는 A일 수도 있다. 그러나 술어계산을 한 부분으로 포함하는 현대 기호논리학은 전통적 삼단논법의 형식들이나 대부분 고안한 것들인 이 형식들의 기호체계에 국한되지 않는다.

보통 술어계산은 어떤 명제계산 형식에 근거해 있다. 따라서 술어계산이 포함하거나 다루는 문장들의 유형은 그 문장 안에서 술어가 주연되는 서로 다른 방식에 따라 분류된다.

예를 들어 술어계산에서는 다음의 두 문장 유형이 구별된다. ① '모든 F는 G이거나 H이다'. ② '어떤 F는 G이면서 동시에 H이다'. 기본 문장유형들의 진리조건은 결정되어 있으며, 따라서 술어계산에서 형성가능한 문장들을 다음의 3가지 상호배타적인 집합들로 나누는 교차분류가 이루어진다.

① '모든 것은 F이거나 F가 아니다'와 같이 술어기호의 의미가 어떻게 규정되더라도 항상 참인 문장들, ② '어떤 것은 F이면서 F가 아니다'와 같이 술어기호의 의미가 어떻게 규정되더라도 항상 거짓인 문장들, ③ '어떤 것은 F이고 G이다'와 같이 술어기호의 의미가 어떻게 규정되는가에 따라 참 또는 거짓인 문장들이다. 이 문장유형들은 술어계산에서 각각 '동어반복'·'모순'·'우연문장'이라고 불린다.

특정한 동어반복 문장 유형은 공리(公理) 또는 다양한 문장유형의 기호를 변형하는 규칙을 위한 기초문장으로 선택될 수 있다. 또 아주 관례적·기계적인 절차를 통하여 '주어진 문장들이 동어반복인가, 또는 모순인가, 또는 우연인가', '주어진 문장들이 서로 논리적 관계를 맺을 수 있는가, 그리고 어떻게 서로 논리적 관계를 맺는가' 등을 결정할 수 있다. 이러한 절차들은 술어들 자체에 적용되는 고차술어(즉 함수)를 포함하지 않는 1차 또는 저차술어계산의 모든 문장들의 논리적 속성과 관계를 결정하는 데 사용될 수 있다.

반면 술어들에 자유롭게 적용되는 고차술어들을 포함하는 고차술어계산에서는 이와 같은 기계적인 절차에 의해 문장들을 분류하는 것이 허용되지 않는다.

고차술어계산은 그것이 무모순적일 경우 그 체계 자체의 규칙을 사용하면 참으로도 거짓으로도 증명할 수 없는 정식을 항상 포함하게 된다는 사실이 20세기 모라비아 출신의 수리논리학자 쿠르트 괴델에 의해 밝혀졌다. 따라서 이 계산들은 엄밀히 말해서 불완전하다. 그러나 여러 가지 제한된 형식의 고차술어계산의 경우 그 정식들에 대해 기계적인 결정 절차를 적용할 수 있다는 사실이 증명되었다.→ 명제계산