백과

가법은 유한개의 수를 더할 때만 정의되므로 무한급수 개념은 초등산술 범주에서 벗어난다.

무한급수는 수학의 여러 분야와 물리·화학·생물·공학과 같은 학문에서 상당히 유용하다.

무한급수 a₁＋a₂＋a₃＋……에서 유한개의 항을 더한S_n=a₁＋a₂＋……＋a_n(n은 임의로 선택한 자연수)을 급수의 부분합(部分合)이라 한다.

n이 점점 커짐에 따라 S_n이 일정한 수 S에 접근하면 이 급수는 수렴한다고 하며, S를 급수의 합이라 한다. 수렴하지 않는 무한급수는 발산한다고 하며, 합 S는 값을 갖지 않는다.

예를 들어 무한급수 1＋1＋1＋……에서 처음부터 n번째 항까지 더한 제n부분합은 S_n=n이다. 더 많은 항을 더할수록 부분합은 유한값으로 접근하지 않으므로(실제로 한없이 커짐)이 급수는 발산한다. 수렴급수에 대한 기본적인 예로서 S_n=2－1/2^n－1인 1＋1/2＋1/4＋……＋1/2ⁿ의 경우에는 n이 커질수록 S_n은 이 무한급수의 합인 2에 접근한다.

급수 1＋r＋r²＋r³＋……은 0＜r＜1이면 합 1/(1－r)로 수렴하고, r≥1이면 발산한다. 이런 급수는 공비가 r인 등비급수라 하는데 수학에서 가장 중요한 개념 가운데 하나이다.

주어진 급수에 대한 수렴·발산을 판정할 때 특정한 표준판정법을 사용할 수 있지만 이런 판정이 항상 가능한 것은 아니다.

일반적으로 급수 a₁＋a₂＋……가 수렴하면, n이 커질수록 a_n이 0에 접근해야 한다. 더구나 유한개 항을 급수에 더하거나 빼도 급수의 수렴·발산에는 아무런 영향을 주지 않는다. 급수 a₁＋a₂＋……에서 a_n이 모두 양(陽)이면, 부분합은 유한값으로 접근하거나 무한히 커지면서 증가한다.

이것이 비교판정법(比較判定法)의 원리이다. 즉 모든 n에 대해 0≤a_n≤b_n이고 b₁＋b₂＋……가 수렴하면, a₁＋a₂＋……도 수렴한다.

등비급수에 비교판정법을 사용해 형태를 약간 변형하면 비판정법(比判定法)이 된다. 즉, r＜1이고 모든 n에 대해 a_n＞0이고 a_n＋1/a_n≤r이면, a₁＋a₂＋……은 수렴한다.

예를 들면 급수 1＋1/2＋1/(3·2)＋1/(4·3·2)＋…… 은 모든 n에 대해 a_n+1/a_n=1/(n＋1)≤1/2이 되기 때문에 비판정법에 의해 수렴함을 알 수 있다. 다른 판정법은 항들이 양으로만 이루어져 있지 않은 급수의 수렴·발산을 판정한다.

급수의 가장 중요한 응용 가운데 하나는 함수의 전개이다.

삼각함수 f₁(x)=cos x, f₂(x)=cos 2x,……, f_k(x)=cos kx와 g₁(x)=sin x, g₂(x)=sin 2x,……, g_k(x)=sin kx는 2π마다 주기적인(2π－periodic), 즉 모든 x에 대해 f_k(x＋2π)=f_k(x)와 g_k(x＋2π)=g_k(x)인 함수이다.

상수 a₀, a₁, ……과 b₁, b₂,……이 주어질 때 방정식 f(x)=a₀＋(a₁ cos x＋b₁ sin x)＋(a₂ cos 2x＋b₂ sin 2x)＋……로 주어진 식에서 모든 x에 대해 무한급수가 주어진 상황에서 수렴한다면, 위의 식의 함수 f(x)가 잘 정의된다.

2π마다 주기적인 함수라면 언제든지 sin과 cos의 무한합으로 쓸 수 있다. 주어진 함수가 sin이나 cos 함수이면 주어진 함수에 관련된 많은 수학문제들은 직접 쉽게 풀 수 있다. 임의의 함수를 f(x)와 같은 급수로 나누는 과정을 푸리에 해석이라 하며, 여러 가지 파동현상을 연구하는 데 널리 이용한다.