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헝가리의 야노슈 보요이와 함께 비(非)유클리드 기하학의 창시자로 여겨진다.

그는 가난한 공무원의 아들로 태어났다. 그의 전생애는 14세 때 학교에 입학한 것을 시작으로 카잔대학교를 중심으로 이루어졌다. 1811년 석사학위를 받았고 1816년에 부교수, 1822년에는 정교수가 되었다.

그의 행정적인 재능이 곧 인정받게 되어 1820년 수학 및 물리학과 학과장이 되었고 1825년에 대학 도서관장으로, 그뒤 1827년부터는 학장에 계속 선출되어 1846년까지 일했다. 임기중 혼돈에 빠진 대학을 구하기 위해 조직적·교육적인 능력을 탁월하게 발휘했다. 전(前) 경영진은 차르 알렉산드르 1세 말년의 정신을 이어받아 근대 과학과 철학, 특히 독일의 철학자 이마누엘 칸트의 철학을 정통 종교에 대한 위협이자 프랑스 혁명의 사악한 산물로 간주하고 불신했다.

그결과 1818~26년 카잔대학교에는 파벌주의, 학문 수준의 쇠퇴, 해고 및 유능한 교수들의 사임이 잇달아 일어났다. 사임한 교수 중에는 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스의 친구이며 로바체프스키의 선생인 요한 마틴 크리스찬 바르텔도 포함되어 있었다. 1826년 차르 니콜라이 1세의 즉위로 좀더 이완된 시기가 시작되었고, 그는 대학에서 지도적 혁신자로 학문적 수준과 교수 사이의 화목을 회복시켰다.

콜레라가 유행한 1830년에는 인명을 구하기 위해 적극적으로 활동했다. 1842년의 대화재 뒤에는 몇몇 대학건물 건축을 위해 활동했으며 카잔 지역의 과학대중화와 초등·중등 교육의 근대화를 이루었다. 이런 일들과 과다한 교수량에도 불구하고 그는 폭넓은 수학연구를 위한 시간도 가졌다.

그는 1826년에 비유클리드 기하학 이론을 발표했고 1829년 출판했다.

이 기하학은 평면 위에 주어진 한 직선과 평행이며 평면 위의 한 점을 지나는 직선은 오직 하나라는 유클리드 평행선공리에 근거하지 않는다. 비유클리드 기하학이 논리적으로 가능함을 보이기 위해 그는 유클리드 평행선공리가 다른 유클리드 공리들의 결과로부터 추론될 수 없음을 입증했다. 그의 발견은 1832년에 출판된 보요이의 연구로 확증되었고, 이는 2,000년 동안 수학자들을 괴롭혔던 문제에 대한 최종적 결론이었다.

그의 관념은 공간·시간과 같은 개념과 외연(外延)은 선험적이고 정신은 감각경험에 질서를 부여한다고 주장하는 칸트의 초월적 관념론에 대한 반대에 기초하고 있었다.

그에게 공간은 후험적 개념으로, 외부 경험으로부터 인간의 정신에 의해서 유도된 개념이었다.

기하학과 더불어 무한급수론, 특히 삼각급수론·적분학·확률론 등에서 뛰어난 업적을 남겼다. 대수학에서는 1834년 종종 스위스 수학자인 카를 하인리히 그래페(1837)의 이름을 따서 부르기도 하는 대수방정식의 근을 근사적으로 계산하는 방법을 발견했다.

보요이처럼 그도 죽은 뒤에 명성을 얻었다.

그의 전생애 동안 극소수만이 그의 기하학에 감명받았고 그당시 서유럽에 잘 알려진 러시아의 주도적 수학자 미하힐 바실레비치 오스트로그라드스키는 그의 기하학을 인정하지 않았다. 게다가 1829년 지방 일반 정기간행물과 1835~39년 카잔 학술회보에 실린 러시아어로 씌어진 그의 초기 저작들은 외부에 거의 알려지지 않았다. 그러나 보요이와 달리 그는 낙담하지 않았다. 불굴의 노력으로 자신의 생각을 러시아어뿐만 아니라 프랑스·독일어로도 출판했다. 1837년 〈허(虛) 기하학 Géométrie imaginaire〉이 〈크렐저널〉(베를린)에 실리게 되었고, 1840년에는 〈평행선이론에 대한 기하학 연구 Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien〉가 출판되었다.

당시 유럽의 주도적 수학자 가우스가 그의 업적을 극찬했지만 일반적으로 인정된 것은 아니었다. 당시 가우스도 같은 결론에 도달했으나 이를 발표하지 않았다.

생애 마지막 무렵에는 거의 앞을 보지 못했으며 가족의 사망으로 슬픔에 싸여 있었다. 1855년에 한 번 더 프랑스어 책 〈범기하학 Pangéométrie〉에 그의 이론을 펴냈으며 이 논문은 러시아어로도 발행되었다. 비유클리드 기하학은 기하학의 기초원리에 대한 독일의 수학자 베른하르트 리만의 1866년 이론의 영향과 1868년 이탈리아의 수학자 유제니오 벨트라미, 그리고 1871년 독일의 펠릭스 클라인이 이 기하학의 일관성과 일반적 적용가능성을 입증한 뒤에야 비로소 인정받게 되었다.