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요약
만약 n회의 베르누이 시행(1회 시행의 우연한 결과가 성공이거나 실패의 2가지로만 나타나는 시행)으로 성공하는 횟수를 X라고 한다면, 그것은 우연에 의해 여러 가지 수치를 취하는 변수이다. 이런 변수를 확률변수라고 한다.
확률변수가 택하는 값이 1차원인 것뿐만 아니라 고차원의 확률을 고안하거나 시간의 매개변수를 넣어서 확률에서 가장 일반적인 연구 대상의 하나인 확률과정을 도입하기도 하므로 확률변수는 확률론으로서의 학문체계를 갖는다. 확률론이란 무작위 현상을 분석하는 수학의 한 분야로서 무작위 사건의 결과는 그 사건이 발생하기 전에는 판정할 수 없는 여러 가능한 결과 중 어느 하나가 된다. 실제 결과는 우연히 결정된다. 확률변수는 현대수학의 한 분야로서 발전하고 있다.
예를 들어 n회의 베르누이 시행(1회 시행의 우연한 결과가 성공이거나 실패의 2가지로만 나타나는 시행)으로 성공하는 횟수를 X라고 한다면 그것은 우연에 의해 여러 가지 수치를 취하는 변수이다. 이런 변수를 확률변수라고 한다.
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좀더 수학적으로 말해서 확률공간(Ω, B, P)가 있다고 하자. 확률변수란 기본사건 ω(∈Ω)에 대한 함수 X (ω)로 모든 실수 x에 대해서 X(ω)≤x가 되는 ω의 전체가 사건, 즉 B의 원소가 된다. 그런 확률을 간단하게 P(X≤x)라고 쓴다.
X가 취하는 값이 x1, x2, ……와 같이 이산적인 값에 한정할 때 X는 이산형 확률변수라 하며 P(X=xk)=Pk로 정의되는 수열{Pk}를 X의 분포라고 한다. 또 함수 F(X)=P(X≤x)를X의 분포함수라고 한다. X가 이산형 확률변수인 경우 분포함수는 계단함수가 된다.
이것과는 대조적으로 분포함수 F(x)가 절대연속, 즉
로 표시될 때 X는 연속형이라고 하며,f(x)를 밀도함수라고 부른다. 확률분포의 특성을 나타내는 양으로서 평균값(기대값이라고도 함)과 분산이 있다. 이산형의 경우 평균값 m은
로 분산 б2는
로 주어진다.
분산의 제곱근 б(＞0)를 표준편차라고 하며 이는 흩어짐의 정도를 나타낸다. 연속형일 때도 평균값, 분산이 유사한 방법으로 정의되어
이다. 확률변수가 택하는 값이 1차원인 것뿐만 아니라 고차원의 확률을 고안하거나 시간의 매개변수를 넣어서 확률과정을 도입하기도 해서 확률론으로서의 학문체계를 갖는다. 이것은 현대수학의 한 분야로서 발전하고 있다.
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