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기하학적 허위와 역설

몇몇 기하학적 허위는 다음과 같은 '증명'을 포함한다.

모든 삼각형은 이등변삼각형이다. 모든 각은 직각이다. 원 내부의 모든 점은 원주상에 있다. 이것들의 증명은 주로 잘못된 추측, 논리 원리의 위배, 정의의 잘못된 해석, 필요충분조건의 결핍 등을 사용한다.

불가능한 도형

얼핏 보면 그럴 듯한 3차원 물체로 보이지만, 자세히 조사해보면 존재할 수 없는 도형을 말하는데, 잘못된 원근법 및 인접위치, 심리학적 왜곡 때문에 발생한다(그림4). 1958년 영국의 펜로즈 부자는 '이상한 고리'(strange loop)라는 도형들을 소개했는데, 이것 중의 하나는 높이는 변하지 않고 한쪽 방향은 영원히 올라가고 다른 한쪽은 내려가기만 하는 4각 계단이다(그림5)(펜로즈, 펜로즈 4각계단). 이것은 무한의 개념과 자기참조의 논리적 역설과 관계가 있다.

병적인 곡선

어떤 곡선이 연속곡선의 어떤 성질을 갖지 않을 때를 말한다.

예를 들면 접선이 정의되지 않는 경우, 곡선이 둘러싼 면적은 유한하지만 그 길이는 무한한 경우가 있다. 또한 곡선은 1차원이므로 2차원인 면을 채울 수 없는데도 불구하고, 실제로 면 안의 모든 점을 지나는 곡선을 만들 수 있다(그림6).

쪽거리

곡선의 불규칙한 형태가 확대된 정도에 관계없이 유지되는 곡선을 말한다(프랙탈 곡선). 1950년대초 B. 만델브로트는 병적인 곡선들의 자기유사성(self-similarity)을 집중적으로 연구하여 자연현상의 모형을 만들 때 쪽거리 이론을 적용했다.

또한 이것은 유체역학·지형학·인체생리학·경제학·언어학 등에 유용하다.

미로

입구와 출구가 각각 1개인 미로는 지나간 길을 표시하면 모두 해결할 수 있다.

목적지가 미로 속에 있을 때, 폐쇄회로가 아니면 이 방법으로 성공할 수 있다. 여기서 폐쇄회로란 처음으로 완전히 되돌아가는 경로를 말한다. 미로에 대한 흥미는 감소되었지만, 심리학과 통신기술에서는 아직도 사용되고 있다.

기하학적 분할

이 문제는 어떤 기하도형을 다른 기하도형으로 배열할 수 있는 조각으로 자르는 문제이다.

예를 들어 직사각형을 잘라서 정사각형으로 만드는 것이 있다. 이 분야의 관심은 18세기말에 고조되기 시작하여 1960년에는 도형을 분해하는 이론이 상세하게 설명되었다. 그 예로 그리스 십자가를 정사각형으로 만드는 것이 있는데(그림7), 이는 상당한 재간이 필요하다. 최근의 예로는 어떤 정사각형을 더 작은 정사각형들로 나누는 문제가 있다(스퀘어드 렉탱글). 오랫동안 풀리지 않았던 이 문제는 망계이론(network theory)으로 해결되었다.

그래프와 망계

그래프는 유한개의 점을 선으로 이을 때 생기는데, 이때 점을 꼭지점, 선을 모서리라고 한다.

평면 그래프는 모서리가 서로 만나지 않는다. 그래프의 모서리가 직선일 필요는 없다. 이 그래프는 전기회로망을 설계할 때 유용하다. 현대의 그래프 이론은 쾨니히스베르크 다리의 문제에 대한 오일러의 연구로 시작되었다. 이 문제는 쾨니히스베르크라는 도시에 있는 7개의 다리를 1번씩만 건너서 원위치로 돌아올 수 있는가 하는 것이다(그림8). 오일러는 이것이 불가능하다는 것을 증명했는데, 홀수 점이 2개 이상이면 그 회로망은 하나의 연속적인 선으로 그릴 수 없다는 것이다.

망계는 공간이나 평면에서 점들을 조합하거나 배열하는 문제와 관계가 있다. 그래프 이론은 철도망·전화회선·교통망 등을 설계하거나 직업과 신청자를 짝지어주는 데 유용하다.