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역사

그리스·로마 시대의 숫자 게임이 약간 남아 있으며, 암흑시대의 것은 거의 알려진 바가 없다. 중세를 통해 인쇄술의 발견, 산술책의 저술, 대수학자 사이의 경쟁과 토론 등에 의해 숫자 게임에 대한 흥미가 일어났으며, 이런 활동은 주로 이탈리아나 독일에서 활발했다. 17세기에는 수학뿐 아니라 역학과 자연철학에 관련된 오락문제를 다룬 책들이 저술되었다.

프랑스의 클로드 가스파르 바셰 드 메지리야크는 이 분야의 개척자 중 한 사람으로 기하학적 수수께끼보다는 주로 산술적인 것에 중점을 두었다. 1624년 프랑스의 장 뢰레숑은 〈수학적 오락 Récréations mathématiques〉이라는 책을 출판했는데, 이 책은 인기를 끌어 1700년 이전에 무려 30판을 찍었다. 이런 관심은 프랑스의 수학자 클로드 미도르주와 드니 앙리옹에 의해 고조되었다.

독일의 다니엘 슈벤터는 뢰레숑의 책을 번역하여 오락에 관한 많은 문제를 모아 출판했다. 이 책은 매우 유명해져서 1651~53년에는 2권의 증보판을 내게 되었다. 잉글랜드에서는 좀 늦게 수학교사인 윌리엄 레이본이 1694년 자신의 책을 출판했다. 18세기에도 이러한 관심은 계속되어, 영국에서는 에드워드 해튼, 토머스 겐트, 새뮤얼 클라크, 윌리엄 후퍼 등의 책이 출판되었다. 대륙에서도 여러 권이 출판되었는데, 그중 뛰어난 책은 그뒤 200년 동안 나온 책들의 선구적인 역할을 한 자크 오자낭의 책이었다.

19세기초에는 뚜렷한 것이 별로 없었으나, 후반에 E. 뤼카와 C.L. 도지슨에 이르러 절정을 이루었다. 뤼카의 〈수학적 오락 Récréations mathématiques〉(4권, 1882~94)은 고전으로 남아 있다. 20세기초의 중요한 인물로는 미국의 샘 로이드 부자가 있다. 수수께끼를 만들어 크게 성공한 로이드는 낱말맞추기(puzzle column)를 수년 동안 신문사에 팔았다. 아들인 로이드 2세는 1934년 60세의 나이로 죽을 때까지 적어도 1만 개의 문제를 만들었다. 독일에서는 헤르만 슈베르트가 2권의 책을 출판했고, W. 아렌스는 1904~20년에 여러 권의 책을 출판했다.

영국에서는 헨리 두드니가 매우 인기있는 많은 수수께끼를 모아 출판했다. W. W. 로스 볼의 〈수학적 오락과 논평 Mathematical Recreations and Essays〉은 1892년 출판되었는데, 이것은 곧바로 고전이 되었다. 뛰어난 저서로 정기간행물 〈스핑크스 Sphinx〉의 편집자 M. 크라이트칙의 것이 있으며, 1900~42년에 몇 권의 유명한 책들이 출판되었다. 20세기 중반 이후에는 다양한 주제를 강조하는 쪽으로 점차 그 경향이 바뀌었다.

산술 및 대수적 숫자 게임

숫자의 모양과 그 신기함

자연수들을 보통의 산술과정으로 연산할 때 신기한 모양을 이루는 경우가 있다.

예를 들면 다음과 같은 것들이 있다.

1×8＋1=9 3×37=111

12×8＋2=98 6×37=222

123×8＋3=987 9×37=333

1234×8＋4=9876 12×37=444

…… ……

(1)²=1

(11)²=121

(111)²=12321

(1111)²=1234321

……

다른 재미있는 것으로 다등급(multigrade)이 있는데, 이것은 어떤 2개의 수집합이 그 원소들의 합이 같으면 각 원소들의 제곱(또는 그 이상)의 합이 같다는 것이다.

예를 들면 1ⁿ＋6ⁿ＋8ⁿ=2ⁿ＋4ⁿ＋9ⁿ (n=1 또는 2)이다. 다등급을 만드는 쉬운 방법은 간단한 등식으로부터 각 항에 같은 수를 더하는 것이며, 더 나아가 그결과의 양변을 서로 바꾼 뒤 다시 원래의 등식과 더하는 것이다. 이런 과정을 반복하면 차수가 높은 다등급을 만들 수 있다.

나르시소스 수란 그 수의 자리수(digit)를 수학적으로 조작하여 나타낼 수 있는 수이다.

153=1³＋5³＋3³과 같이 각 자리수를 n제곱 한 뒤 더하여 만들어진 정수를 완전 자리수 불변이라 하는 반면, 재귀 자리수 불변의 예로는 다음과 같은 것들이 있다.

55 : 5³＋5³=250

250 : 2³＋5³＋0³=133

133 : 1³＋3³＋3³=55

이런 자리수 불변의 변형된 형태로는 165,033=16³＋50³＋33³이 있다.

계수(計數) 문제

같은 숫자 4개를 사용해 1부터 시작하여 가능한 한 많은 정수를 표현하려는 문제이다.

그 결과는 연산규칙에 따라 다른데, 예를 들면 1을 4개 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

1=1＋1/1－1

2=1＋1＋1－1

3=1＋1＋1/1

4=1＋1＋1＋1

5=(1＋1＋1)!－1

……

4를 4개 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

1=(4/4)·(4/4)

2=4/4＋4/4

3=4/4＋4/√4

4=√(4) (4)·(4/4)

5=√4+√4＋4/4

……

이 규칙을 확장시키면 더 많은 조합이 가능하다.

이런 문제들은 상당한 창의력이 요구되지만 심오한 수학이 요구되지는 않는다.

암호산술

이 용어는 1931년에 도입되어 벨기에의 잡지 〈스핑크스〉에 실렸다.

이 문제는 문자를 곱하는 과정에서 각 문자를 정화한 연산이 이루어지는 숫자 대신에 표시하는 것이다.

이것은 약간의 분석력이 요구되는데, 해답은 125×37=4,625이다.

역설과 허위

수학적 역설이란, 추론과정은 모두 옳지만 그 결론이 너무 예상밖이라서 인정하기 어려운 수학적 결론이다.

반면 수학적 허위란 명백히 틀리거나 이치에 맞지 않는 결과를 주는 그릇된 추론이다. 많은 역설은 무한의 개념과 극한 과정 때문에 발생한다. 무한급수의 수렴과 발산에서 그 예를 찾아볼 수 있다. 짝수 자연수의 개수와 자연수의 개수가 같다는 사실도 하나의 역설이다. 이른바 제논의 역설들은 정확히 말해 궤변이다.

분명히 제논은 자신이 주장한 것을 믿지 않았으며, 그는 자신의 주장에서 오류를 찾는 데 관심이 있었다. 이런 모순의 궤변 밑에 무한과 극한에 대한 미묘하고도 파악하기 힘든 개념이 있었으며, 해석학의 기초가 더 엄격해지고 초한수이론(超限數理論)이 확립된 19세기에 이르러 완전히 설명되었다.

다각수와 다른 형상적 수

이 수는 15세기 산술책에 나타나 있고 고대 중국에도 알려진 것 같지만 고대 그리스 수학자들이 특별한 관심을 가졌다.

이 수는 모든 것이 숫자로 설명될 수 있다고 믿는 피타고라스 학파에게 특히 중요했고, 그들은 수가 '모양'을 가졌다는 사실을 알았다. 자연수의 제곱수는 점들의 사각형 배열로 나타낼 수 있으며(그림1), 직사각형수(2, 6, 12, ……)는 임의의 삼각형수를 2배하여 만들 수 있다(그림2). 노몬(gnomon)은 모든 홀수를 포함하며, 직각자 모양으로 나타낼 수 있다(그림3). 더 작은 직각자 모양에 노몬을 더하여 제곱수를 만들 수 있으며, 실제로 피타고라스는 이러한 성질을 이용해 a²＋b²=c²을 발견했을 가능성이 매우 크다.

즉 어떤 홀수 제곱에 어떤 짝수 제곱을 더하면 다시 어떤 수의 제곱이 된다. 예를 들면 3²＋4²=5² (이때 3²=4＋5), 5²＋12²=13² (이때 5²=12＋13)이다(피타고라스의 정리).

다각수는 형상적 수의 일부를 이룬다.

예를 들면 등차수열 1, 2, 3, ……, r와 1, 3, 5, ……, (2r－1)이 있다. 여기에서 바로 앞의 항까지를 더해 새로운 수열을 만들면 1, 3, 6, 10, ……과 1, 4, 9, 16, ……이 되는데, 이것은 등차수열이 아니고 다각의 삼각형수와 제곱수이다. 이런 수들의 중요성은 현대의 수론과 관련이 있다. 수들의 단순하고 기본적인 성질 및 관계도 때로는 정교한 수학적 기술을 필요로 한다. 따라서 모든 자연수는 3각수이거나 2 또는 3개의 3각수의 합이라는 것이 보여졌다.

피타고라스 3수

이것은 a²＋b²=c²을 만족시키는 3개의 자연수를 말하며, 이것을 만드는 공식은 a=p²－q², b=2pq, c=p²＋q²이다(피타고라스의 수). 이때 p, q는 서로소이고 하나가 짝수이면 다른 하나는 홀수이며 p＞q이다.

또한 n이 임의의 자연수일 때 2n＋1, 2n²＋2n, 2n²＋2n＋1은 피타고라스 3수를 이룬다.

완전수와 메르센 수

완전수란 그 자신의 약수들의 합과 같은 정수이며, 6(=1＋2＋3), 28(=1＋2＋4＋7＋14), 496, 8,128 등이다.

유클리드는 2ⁿ－1이 소수(素數)일 때 2^n－1 (2ⁿ－1) 꼴이 완전수가 됨을 제안했으며, 18세기 레온하르트 오일러는 모든 짝수 완전수는 반드시 2^n－1 (2ⁿ－1) 꼴임을 증명(물론 2ⁿ－1이 소수일 때임)했다. 2ⁿ－1 꼴의 수를 메르센 수라고 하는데, 2ⁿ－1이 소수이면 n도 역시 소수가 된다.

따라서 모든 짝수 완전수는 2^n－1 (2ⁿ－1) 꼴을 가지며, 이때 n과 2ⁿ－1은 모두 소수이다. 1989년까지 30개 이상의 완전수가 알려졌지만, '홀수 완전수가 있는가'와 '완전수가 무한개인가' 하는 문제가 미해결로 남아 있다.

피보나치 수

일반적으로 x_n=x_n－1＋x_n－2를 만족시키는 수를 말하며 1, 2, 3, 5, 8, 13, ……이 그 예이다.

이 수의 많은 성질 중 하나는 x_n＋1·x_n－1=xn²＋(－1)_n이다. 뤼카에 의한 이 수를 만들어내는 또다른 공식은 다음과 같다.

이때 (√5＋1) : 2=1.618……을 황금수라고 한다.

어떤 선분을 둘로 나누어 각 선분의 길이를 각각 a, b(a＜b)라 할 때 a/b=b/(a＋b)를 만족시키면 이를 황금분할이라 하는데, x=b/a라 놓으면 위 식은 x²－x－1=0이 되고 이것의 해가 황금수와 그 수의 역수이다.

황금수를 계속 곱하면 다음과 같은 꼴이 된다.

이때 n이 피보나치 수이고 m은 뤼카 수열(즉 1, 3, 4, 7, ……)이다.

뤼카 수열은 피보나치 수열의 점화식 x_n=x_n－1＋x_n－2를 만족한다.

기하학적, 위상수학적 오락

광학적 착각

이것의 생성과 분석은 수학적이고 기하학적인 원리와 관계가 있다.

어떤 것은 심리적인 것을 이용하는데, 예를 들어 눈으로 비교할 때 길이가 면적보다 잘 인식됨을 이용한다.

기하학적 허위와 역설

몇몇 기하학적 허위는 다음과 같은 '증명'을 포함한다.

모든 삼각형은 이등변삼각형이다. 모든 각은 직각이다. 원 내부의 모든 점은 원주상에 있다. 이것들의 증명은 주로 잘못된 추측, 논리 원리의 위배, 정의의 잘못된 해석, 필요충분조건의 결핍 등을 사용한다.

불가능한 도형

얼핏 보면 그럴 듯한 3차원 물체로 보이지만, 자세히 조사해보면 존재할 수 없는 도형을 말하는데, 잘못된 원근법 및 인접위치, 심리학적 왜곡 때문에 발생한다(그림4). 1958년 영국의 펜로즈 부자는 '이상한 고리'(strange loop)라는 도형들을 소개했는데, 이것 중의 하나는 높이는 변하지 않고 한쪽 방향은 영원히 올라가고 다른 한쪽은 내려가기만 하는 4각 계단이다(그림5)(펜로즈, 펜로즈 4각계단). 이것은 무한의 개념과 자기참조의 논리적 역설과 관계가 있다.

병적인 곡선

어떤 곡선이 연속곡선의 어떤 성질을 갖지 않을 때를 말한다.

예를 들면 접선이 정의되지 않는 경우, 곡선이 둘러싼 면적은 유한하지만 그 길이는 무한한 경우가 있다. 또한 곡선은 1차원이므로 2차원인 면을 채울 수 없는데도 불구하고, 실제로 면 안의 모든 점을 지나는 곡선을 만들 수 있다(그림6).

쪽거리

곡선의 불규칙한 형태가 확대된 정도에 관계없이 유지되는 곡선을 말한다(프랙탈 곡선). 1950년대초 B. 만델브로트는 병적인 곡선들의 자기유사성(self-similarity)을 집중적으로 연구하여 자연현상의 모형을 만들 때 쪽거리 이론을 적용했다.

또한 이것은 유체역학·지형학·인체생리학·경제학·언어학 등에 유용하다.

미로

입구와 출구가 각각 1개인 미로는 지나간 길을 표시하면 모두 해결할 수 있다.

목적지가 미로 속에 있을 때, 폐쇄회로가 아니면 이 방법으로 성공할 수 있다. 여기서 폐쇄회로란 처음으로 완전히 되돌아가는 경로를 말한다. 미로에 대한 흥미는 감소되었지만, 심리학과 통신기술에서는 아직도 사용되고 있다.

기하학적 분할

이 문제는 어떤 기하도형을 다른 기하도형으로 배열할 수 있는 조각으로 자르는 문제이다.

예를 들어 직사각형을 잘라서 정사각형으로 만드는 것이 있다. 이 분야의 관심은 18세기말에 고조되기 시작하여 1960년에는 도형을 분해하는 이론이 상세하게 설명되었다. 그 예로 그리스 십자가를 정사각형으로 만드는 것이 있는데(그림7), 이는 상당한 재간이 필요하다. 최근의 예로는 어떤 정사각형을 더 작은 정사각형들로 나누는 문제가 있다(스퀘어드 렉탱글). 오랫동안 풀리지 않았던 이 문제는 망계이론(network theory)으로 해결되었다.

그래프와 망계

그래프는 유한개의 점을 선으로 이을 때 생기는데, 이때 점을 꼭지점, 선을 모서리라고 한다.

평면 그래프는 모서리가 서로 만나지 않는다. 그래프의 모서리가 직선일 필요는 없다. 이 그래프는 전기회로망을 설계할 때 유용하다. 현대의 그래프 이론은 쾨니히스베르크 다리의 문제에 대한 오일러의 연구로 시작되었다. 이 문제는 쾨니히스베르크라는 도시에 있는 7개의 다리를 1번씩만 건너서 원위치로 돌아올 수 있는가 하는 것이다(그림8). 오일러는 이것이 불가능하다는 것을 증명했는데, 홀수 점이 2개 이상이면 그 회로망은 하나의 연속적인 선으로 그릴 수 없다는 것이다.

망계는 공간이나 평면에서 점들을 조합하거나 배열하는 문제와 관계가 있다. 그래프 이론은 철도망·전화회선·교통망 등을 설계하거나 직업과 신청자를 짝지어주는 데 유용하다.

조작하는 오락

배열과 관련된 수수께끼

루카스 수수께끼는 최초의 배열 게임 중 하나이다.

7개의 정사각형이 일렬로 놓여 있고 왼쪽 3칸에는 검은 돌이, 오른쪽 3칸에는 흰 돌이 놓여 있고, 가운데 칸은 비어 있다. 돌을 한 번에 1개 움직여 검은 돌과 흰 돌의 위치를 완전히 바꾸어놓는 것이 목표이다. 이 게임은 돌의 수를 늘릴 수도 있으며, 어느 한 색의 돌이 n개인 경우 필요한 움직임은 n(n＋2)번이다.

3목놀이(Ticktacktoe)는 2인용으로 잘 알려진 게임이다.

각 경기자는 흰 돌과 검은 돌 중에 한 가지를 3개씩 가지고 3×3 바둑판에 중앙을 제외한 다른 모든 칸에 돌을 놓을 수 있다. 서로 1번씩 교대하여 돌을 놓고, 3개의 돌을 나란히 놓으면 이긴다. 그러나 서로 비기면 각 경기자는 차례로 돌 하나를 인접한 칸으로 수직이나 수평으로 옮길 수 있다. 이 놀이는 4×4 또는 5×5의 바둑판으로 변형시킬 수 있다. 이 경우에는 대각선 이동을 허용하기도 한다. 비슷한 종류로 다이아몬드 형태의 판에서 하는 놀이가 있다.

이 놀이는 덴마크의 피에트 헤인이 1942년에 만들었는데, '다각형'이란 이름으로 빠르게 유행했고, 이와는 독자적으로 미국의 존 내시가 1948년에 이런 종류의 놀이를 창안해 몇 년 뒤 '헥스'란 이름으로 시판했다.

체스판 문제

가장 널리 논의된 것 중 하나는 독일의 위대한 수학자 C.F. 가우스가 흥미를 가졌던 문제인, 8명의 여왕이 서로 공격받지 않고 체스판 위에 놓이게 하는 놀이이다.

또한 출발점으로 다시 돌아오는 기사의 일주여행길을 찾는 놀이가 있는데, 어떤 칸도 1번 이상 들어갈 수 없으며, 1번 순회에서 각 칸을 모두 지나야 한다. 이 문제는 마방진(magic square)과 관련이 있다.

숫자판 맞추기(fifteen puzzle)

가장 잘 알려진 것 중 하나로 1878년 샘 로이드 1세가 창안했다.

1~15의 숫자가 적힌 15개의 작은 정사각형판들이 있고 오른쪽 아래 구석에는 공간으로 남아 있는 납작한 정사각형 판을 생각하자. 처음에 오른쪽 밑부분을 제외한 나머지 공간에 15개의 숫자판을 무작위순으로 놓은 뒤, 이 판들을 밀어서 움직여 순서대로 재배열하고 오른쪽 밑부분을 다시 비워 끝내는 놀이이다(그림 9). 이 놀이는 숫자판의 수가 서로 뒤바뀐 경우가 짝수이면 정상적으로 맞출 수 있지만, 홀수이면 불가능하다.

그림 9-2는 역배열이 2개이므로 숫자들을 정확하게 맞출 수 있지만, 그림 9-3는 5개이므로 불가능하다.

폴리오미노

같은 크기의 정사각형들의 변을 맞춰놓은 것이다.

그림 10-1은 단순한 형태이며, 펜토미노는 정확히 12가지의 모양이 있다(그림 10-2). 헥소미노는 35가지의 모양, 헵토미노는 108가지의 모양이 있다. 그러나 정사각형 개수에 따른 폴리오미노 수의 일반 공식은 알려지지 않았다.

소마 정육면체(Soma Cubes)

덴마크의 피에트 헤인은 3~4개의 정육면체의 면들을 맞대어 이루어지는 모든 불규칙한 모양들을 합하면 더 큰 정육면체로 만들 수 있다는 사실을 우연히 발견했다.

이것은 모두 7가지 모양으로 만들어지는데(그림11), 5번째와 6번째가 서로 거울상이라는 것 외에는 모두 다른 모양이다. 이 7가지를 다시 재배열하면 하나의 큰 정육면체가 된다.

논리적 추론 문제

논리 수수께끼

수나 기하학을 고려하지 않고 주로 논리적 연관성을 바탕으로 한 연역적 추론을 요구하는 많은 문제들이 있다. 이 수수께끼는 고의적인 속임수, 애매한 문장으로 된 수수께끼나 단어 게임 또는 속기 쉬운 함정에 빠뜨리려고 고안된 문제들과는 다르다. 논리 수수께끼를 푸는 법은 일정하지 않고, 대부분 시행착오법에 의해 해결한다.

즉 주어진 최소한의 사실들은 여러 가지 가정을 내포하므로 모순되는 것을 계속 버림으로써 마침내 답에 도달하는 방법이다. 다양한 논리적 기교가 도움이 되기도 하지만, 주로 창의력을 필요로 한다. 3명의 여행자들이 기차를 타고 있다(→ 얼룩묻은 얼굴 문제). 그 기차가 굴을 통과하자 각 사람의 이마에 검댕 얼룩이 묻었다. 서로 웃는 동안 다른 승객이 거울 없이 이들의 얼굴이 더러워진 사실을 알 수 있는 방안을 제시했다. 그는 "여러분 각각은 다른 두 사람을 보고, 적어도 1명의 이마가 더러우면 손을 드십시오"라고 하자 각 사람은 손을 들었다. "이중에서 자신의 이마가 더러운지 확실히 알면 손을 내리십시오"라고 하자 잠시 후 1명이 손을 내렸다. 이 사람은 자신의 이마가 더러운지 어떻게 알았을까?

논리적 역설

BC 6세기 크레타의 예언자 에피메니데스는 "모든 크레타인은 거짓말쟁이다", 즉 "크레타인이 한 모든 표현은 틀리다"라는 말을 했다(→ 거짓말쟁이의 역설). 그는 크레타인이기 때문에 그의 표현도 틀리므로 크레타인이 하는 말 모두가 거짓은 아니다. 따라서 첫 문장은 자기모순이다.

버트런드 러셀이 제안한 이발사의 역설도 같은 종류이다. 한 마을의 유일한 이발사가 "이 마을에서 스스로 이발하지 않는 모든 사람들을 내가 이발했다"고 주장했다. 그러면 누가 이발사를 이발했을까? 자기모순은 '모든'이란 표현에서 발생한다.