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복소함수는 미적분학에서 배운 실함수들과 비슷한 방법으로 정의된다. 유일한 차이점은 함수가 실수보다 복소수에서 작용한다는 것이다. 함수는 수학에서 한 변수(독립변수)와 다른 변수(종속변수) 사의의 관계를 명시하는 표현이나 규칙을 의미한다. 그리고 복소수는 하나의 실수와 하나의 음수의 제곱근과의 합이다. 프랑스의 수학자 코시가 1814년 정적분에 관한 소논문을 발표했는데, 이는 복소함수론의 기초가 되었다. 코시와 다른 수학자들은 미적분학을 복소수함수에 적용했다. 코시는 복소수함수가 도함수를 가지면 주어진 한점에서의 함수값은 다른 점들에서의 함수값들의 적분(코시 적분)으로 표현됨을 보였다. 복소함수를 이용하면 실함수를 이용했을 때보다 계산을 간단히 할 수 있고, 전기공학과 기체역학 등을 깊게 이해할 수 있다.