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함수의 극한에 관한 기본 성질

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제논의 역설

그리스의 철학자 제논(Zenon, 서기전 490~425)의 역설 중에 유명한 역설이 ‘아킬레스와 거북이의 경주’다. 제논은 천하의 마라톤 선수인 아킬레스라도 느려터지기로 유명한 거북이보다 뒤에서 출발한다면 결코 거북이를 따라잡을 수 없다고 주장했다. 아킬레스가 거북이보다 10배 빠르고, 거북이에게 넉넉하게 한 100m 앞에서 먼저 달리게 한다고 해도 아킬레스는 눈 깜짝할 사이에 100m를 달려 거북이의 자리에 위치한다.

그리고 같은 시간 역시 열심히 달리던 거북이는 1m정도 더 앞으로 나가 있다고 하자. 또 다시 아킬레스는 1cm를 달리면, 거북이는 0.1mm 앞서가고, 다시 0.1mm를 달리면, 0.001mm 앞에 거북이가 위치한다. 제논의 역설에 내포된 문제는 19세기에 극한에 대한 개념이 정립된 후 해결되었다.

100+10+0.1+······==(m)이므로 아킬레스는 (m)를 달린 후에 거북이를 따라잡을 수 있다. 제논의 역설은 현실과 도저히 일치하지 않는 주장이었던 것이다. 함수의 극한을 응용하여 아킬레스가 거북이를 추월하는 순간을 논리적으로 설명할 수 있었다.

함수의 극한에 가장 크게 공헌한 사람은 프랑스 수학자 코시(A. L. Cauchy, 1789~1857)다. 17세기에는 극한의 개념이 확실하지 않아 여러 가지 문제가 발생했는데 코시는 ‘ε-δ논법’을 써서 극한의 개념을 확립했고, 이를 기초로 함수의 극한, 연속성, 미적분의 기본 정리 등을 체계화할 수 있었다. 그리하여 코시는 오늘날 ‘함수론의 아버지’로 불린다.