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완전수(完全數, perfect number)는 자신을 제외한 양의 약수를 모두 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 의미한다. 약수 중에서 자신을 제외한 약수를 ‘진약수’라고 하는데 어떤 수의 진약수의 합이 원래의 수와 같을 때 그 수를 완전수라 하고, 반면에 원래의 수보다 작을 때는 ‘결핍수’, 원래의 수보다 클 때는 ‘과잉수’라고 한다.
고대의 그리스 사람들은 네 개의 완전수 6, 28, 496, 8128를 발견하고, 이를 토대로 완전수에 대한 2가지 추측을 했다.
6→1＋2＋3=6
28→1＋2＋4＋7＋14=28
496→1＋2＋4＋8＋16＋···＋31=496
8128→1＋2＋4＋8＋16＋32＋···＋127=8128
n번째 완전수는 n자리수이고, 완전수의 끝자리는 6과 8이 번갈아 나타난다는 것이다. 그러나 다섯 번째, 여섯 번째 완전수를 발견하고 추측이 틀렸음을 알았다.
다섯 번째 완전수→33550336
여섯 번째 완전수→8589869056
메르센 소수와 완전수
숫자가 커질수록 완전수를 찾기란 쉽지 않음을 알 수 있다. 하지만 유클리드는 서기전 350~300년경에 『기하학 원론』에서 2n-1이 소수이면 2n-1(2n-1)은 완전수라는 것을 증명했다. 이후 1700년대에 스위스의 수학자 오일러(Leonhard Euler, 1707~1783)는 짝수인 모든 완전수는 2n-1(2n-1) (단, n≥2인 자연수)의 형태임을 증명했다. 여기서 2n-1을 만족하는 수를 메르센 소수라고 하는데 메르센 소수와 완전수 사이에는 대응관계가 있음이 증명되었다.
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메르센 소수는 274,207,281-1이고, 무려 2,233만 8,618자리에 달하는 수이며 만약 4초 동안 10자리를 쓰는 속도로 이 소수를 공책에 써내려간다면 무려 3개월이 걸린다고 한다. 이 소수는 미국 센트럴미주리대의 커티스 쿠퍼 교수가 발견했는데, 무료 소프트웨어와 다수의 개인용 컴퓨터를 이용해 소수를 찾는 김프스 프로젝트로 이런 업적을 이루었다.
르네상스 시대에 여러 화가들은 그림 속에 완전수의 의미를 담아 그리기도 했다. 그 시대에 유명한 라파엘로의 <몽드의 그리스도 책형>에는 인물들이 십자가를 기준으로 좌우 대칭으로 각 3명씩, 모두 6명이 육각형 형태로 배치되어 있다. 가장 작은 완전수 6을 사용한 것이다. <시스티나 성모>에서도 마찬가지다. 또한 르네상스 3대 거장 중 다른 한 명인 레오나르도 다빈치의 <최후의 만찬>에서도 예수를 중심으로 제자들이 양쪽에 6명씩 배치되어 있다.
이처럼 완전수는 특별한 수로 인식되었다. 영화 <용의자X>에서도 완전수를 보여주는데, 사랑하는 여인을 위한 완전범죄를 꿈꾸는 수학 교사의 이야기다. 주인공 남자가 여인에게서 받은 쪽지를 『Perfect number』에 꽂아두고 완벽한 알리바이를 설계한다.
라파엘로 작품
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글
출처
『친절한 과학사전 수학 편』은 과거 수학자들의 대단한 역할을 소개하고, 이런 과정 속에서 수학이 우리의 삶에 어떠한 영향을 미치는지를 재미있고 친절하게 소개했다. 수학..펼쳐보기
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[Daum백과] 완전수 – 친절한 과학사전 수학 편, 조윤희, 북카라반
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