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자연수 n에 대한 명제 p(n)이 모든 자연수 n에 대하여 성립한다는 것을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.
i) n=1일 때, 명제 p(n)이 성립함을 보인다.
ii) 임의의 자연수 k에 대하여 n=k일 때 명제 p(n)이 성립한다고 가정하고, n=k＋1일 때 명제 p(n)이 성립함을 보인다.
이것을 수학적 귀납법(數學的 歸納法, mathematical induction)이라고 한다.

모든 자연수 n에 대하여 등식 1＋3＋5＋···＋(2n-1)=n² ······ ①이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.
(i) n=1일 때 (좌변)=1 (우변)=1²=1이므로 ①이 성립한다.
(ii) n=k (k≥1)일 때 ①이 성립한다고 가정하면 1＋3＋5＋···＋(2k-1)=k²
이 식의 양변에 2k＋1을 더하면 1＋3＋5＋···＋(2k-1)＋(2k＋1)=k²＋(2k＋1)=(k＋1)²이므로 ①은 n=k＋1일 때도 성립한다. 따라서 (i), (ii)로부터 모든 자연수 n에 대하여 ①이 성립한다.