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자연수 n에 대한 명제 p(n)이 모든 자연수 n에 대하여 성립한다는 것을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.
i) n=1일 때, 명제 p(n)이 성립함을 보인다.
ii) 임의의 자연수 k에 대하여 n=k일 때 명제 p(n)이 성립한다고 가정하고, n=k＋1일 때 명제 p(n)이 성립함을 보인다.
이것을 수학적 귀납법(數學的 歸納法, mathematical induction)이라고 한다.
모든 자연수 n에 대하여 등식 1＋3＋5＋···＋(2n-1)=n2 ······ ①이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라.
(i) n=1일 때 (좌변)=1 (우변)=12=1이므로 ①이 성립한다.
(ii) n=k (k≥1)일 때 ①이 성립한다고 가정하면 1＋3＋5＋···＋(2k-1)=k2
이 식의 양변에 2k＋1을 더하면 1＋3＋5＋···＋(2k-1)＋(2k＋1)=k2＋(2k＋1)=(k＋1)2이므로 ①은 n=k＋1일 때도 성립한다. 따라서 (i), (ii)로부터 모든 자연수 n에 대하여 ①이 성립한다.
페아노의 공리
수학적 귀납법은 자연수 전체의 집합을 정의한 페아노 공리계(Peano’s axioms)의 제5공리를 기초로 이루어졌다. 그래서 페아노의 제5공리를 수학적 귀납법의 공리라고 한다. 이탈리아의 수학자 페아노(Giuseppe Peano, 1858~1932)가 만든 페아노 공리계(公理系)는 자연수 체계를 묘사하는 5개의 공리들이다. 그는 합집합과 교집합의 현대적 기호를 사용했다.
• 제1공리 : 1은 자연수(Natural number)이다.
• 제2공리 : N이 자연수이면 N의 다음 수인 N＋1도 자연수이다.
• 제3공리 : 어떤 자연수 N의 다음 자연수 N＋1은 1이 될 수 없다.
• 제4공리 : 두 자연수 M과 N이 다르면 두 다음 자연수인 M＋1과 N＋1도 서로 다르다.
• 제5공리 : 어떤 집합 A가 자연수 1을 포함하고, 어떤 자연수 N과 그 다음 자연수 N＋1도 포함한다면 집합 A는 자연수 집합을 포함한다.
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글
강원대학교 수학과를 졸업하고 교직에 몸담아 왔다. 부원고등학교, 효양중학교를 거쳐 현재 경기도 이천의 이현고등학교에 재직하고 있다. 학교에서 학생들에게 수학을 가르치면서 수학이 단지 암기과목, ..
출처
『친절한 과학사전 수학 편』은 과거 수학자들의 대단한 역할을 소개하고, 이런 과정 속에서 수학이 우리의 삶에 어떠한 영향을 미치는지를 재미있고 친절하게 소개했다. 수학 공부에 좀처럼 흥미와 자신..