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클라인병, 4차원 초입체 도형

뫼비우스 띠의 발견 이야기는 유명하다. 해변으로 휴가를 떠난 뫼비우스는 파리 때문에 잠을 이루지 못하게 되자 양면에 접착제를 바른 띠를 한 번 꼬아 양끝을 서로 연결한 뒤에 걸어 두고 숙면을 취했다. 아침에 일어나서 띠에 잔뜩 붙어 있는 파리를 보았고, 그 띠가 놀랍게도 단 한 개의 면을 가지고 있는 특이한 모양이라는 것을 알게 되었다. 그것이 바로 뫼비우스의 띠다.

클라인병(klein bottle)은 두 개의 뫼비우스의 띠의 경계를 붙여서 만든 2차원 곡면으로 방향을 정할 수 없다. 독일의 수학자 펠릭스 클라인(felix klein, 1849~1925)은 면이 단 하나밖에 없는 특수한 항아리의 위상기하학적 모델을 만들어냈다. 클라인병은 바깥은 있는데 안이 없고, 자신이 자신을 관통하고 있다. 안과 바깥의 구별이 없기 때문에 클라인 병을 따라가다 보면 뒷면으로 갈 수 있다. 클라인병은 4차원 초입체 도형이다.

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• 1뫼비우스의 띠(mobius strip)
• 2클라인병(klein bottle)

뫼비우스의 띠와 같은 기본 주제를 가지고 여러 작품을 내놓은 네덜란드의 화가 모리츠 코르넬리스 에셔(Maurits Cornelis Escher, 1898~1972)의 작품을 감상해보자. <불개미>는 뫼비우스의 띠 위에 불개미를 그려 넣어 개미가 뫼비우스의 특성에 따라 끝없이 돌아도 제자리에 돌아온다는 것을 보여준다. 또 <그리는 손>은 두 손이 서로를 그리고 있어 어느 손이 어느 손을 그리는지 알 수 없다.

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• 1불개미

  모리츠 코르넬리스 에셔의 1963년 작품

• 2그리는 손

  모리츠 코르넬리스 에셔의 1948년 작품