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본관은 전주, 시호는 회은(懷隱)이다. 고종의 손자이자 대한제국의 마지막 황태자인 영친왕 이은(李垠)의 아들이며, 어머니는 일본 왕족의 딸인 이방자(李方子, 본명은 마사코)이다.

이구는 1931년 일본 도쿄에서 영친왕의 둘째아들로 태어났다. 그러나 형 이진(李晋)이 생후 8개월 만인 1922년 5월 11일 이미 사망했기 때문에 황태손이 되었다. 이구는 일본 왕실학교인 가쿠슈인에서 교육을 받고, 1950년 미국으로 건너가 매사추세츠공과대학 건축학과를 졸업하고 건축사로 일했다.

1952년 4월 발효된 대일강화조약에 따라 국적이 일본에서 한국으로 바뀌었지만 대한민국 정부의 반대로 한국에는 입국할 수 없었다. 1959년 여덟 살 연상인 미국인 줄리아 멀록과 결혼했으나 슬하에 자녀를 두지 못했다. 박정희 정권으로 바뀐 이후 1963년 11월 부모와 함께 잠시 입국하였다. 1965년부터 서울대학교 등에서 건축학을 강의했으며, 1966년에는 트랜스아시아 부사장에 취임했다.

1970년 아버지 영친왕이 사망하자 황실을 이어갔으며, 1971년에는 영친왕기념사업회를 설립하였다. 1973년 3월 사단법인 전주이씨대동종약원 총재로 추대되었고, 같은해 신한항업주식회사를 설립했으나 실패하였다. 1979년 일본으로 건너간 이후 그곳에서 사업을 했으나 역시 성공하지 못했고, 1982년에는 아내 멀록과도 이혼했다. 1996년 다시 한국으로 돌아와 전주이씨 대동종약원 명예총재로 일했다. 2005년 7월 16일 자신이 태어난 장소이기도 한 도쿄 아카사카 프린스호텔에서 심장마비로 사망해 경기도 남양주시 금곡동 영친왕 묘역에 묻혔다.