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아서 케일리와 함께 좌표축을 옮기거나 회전시켜도 대수방정식의 계수는 변하지 않는다는 대수불변성 이론을 세웠다.

1838년 런던대학교 유니버시티 칼리지의 자연철학교수가 되었다.

1841년 미국 샬럿츠빌의 버지니아대학교 수학교수직을 맡았으나 3개월 후 그만두었다. 4년 뒤 런던으로 가서 보험회사의 보험계리인이 되었는데, 수학에 대한 그의 관심은 개인교사로 제자를 가르치면서 유지될 정도였다. 그의 제자 중 가장 뛰어난 학생으로는 플로런스 나이팅게일이 있다. 1846년 이너템풀 법학원의 법학생이 되었고, 1850년에 변호사 자격을 얻었다. 변호사로 일하는 동안 케일리와 열정적이고 유익한 친분관계를 맺기 시작했다. 그들은 대수형식 이론을 함께 만들었다. 1855~70년에는 울리지의 영국 육군사관학교 수학교수가 되었다. 1876년 다시 한번 미국으로 가서 볼티모어의 존스홉킨스대학교 수학교수가 되었다. 그곳에 있는 동안 〈미국 수학 저널 American Journal of Mathematics〉의 창설(1878) 후 첫 편집자로 일하면서 수학과에서의 졸업논문을 미국 대학에 소개해 미국의 수학 발달을 크게 자극했다. 1883년 영국으로 돌아와서 옥스퍼드대학교의 새빌좌(座) 기하학교수가 되었다.

그는 원래 대수학자였는데, 수론에 관해서도 뛰어난 업적을 남겼다. 특히 한 수는 양의 정수들의 합으로 표현될 수 있다는 분할론과 어떤 대수방정식의 정수해를 찾는 방법인 디오판토스 분석에 관한 연구가 뛰어났다. 그는 직관으로 연구했기 때문에 자신이 확실하게 주장한 것에 대한 증명을 찾기 어려울 때가 많았다.

그의 모든 연구는 상상력과 독창성이 뛰어나다는 것이 특징이었다. 수많은 논문을 발표했지만, 〈타원함수에 관한 연구 Treatise on Elliptic Functions〉(1876)가 그의 유일한 수학 저서이다. 또한 그는 시를 썼으며, 〈시의 원칙 Laws of Verse〉(1870)을 출판하기도 했다.