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만일 x₀〈……〈 x_n이고 y₀=f(x₀), ……, y_n=f(x_n)을 알고 있고 x₀〈 x〈x_n일 때의 값 f(x)를 보간 또는 내삽이라 하며, 만약 x〈 x₀이거나 x 〉x₀일 때, f(x)는 보외(補外) 또는 외삽이라 한다.

x₀, ……, x_n과 이들의 대응값인 y₀, ……, y_n이 주어지면 이 n＋1개의 점(x_i, y_i)(i=0, 1, ……, n)을 지나는 그래프의 함수 y=f(x)를 결정하는 것을 보간이라고 할 수 있을 것이다.

이러한 함수는 무수히 많지만, 가장 간단한 것은 다항식 y=p(x)=b₀＋b₁x＋…＋b_nxⁿ이다. p(x_i)=y_i(i=0, ……, n)이면, p(x)는 점(x_i, y_i)를 지나는 다항식보간이라 한다.

그러한 n차 또는 그 이하의 보간다항식은 오직 하나다. 종종 다항식 p(x)의 값이 f(x) 값의 좋은 추정치가 될 수 있으므로, f(x_i)=y_i를 만족하는 함수 f(x)가 다항식이 아닐지라도 다항식근사는 유용하다.

두 점 (x₀, y₀)와 (x₁, y₁)이 주어지면, p(x)=a＋bx이기 때문에 다항식보간은 선형보간이라 한다.

해석기하학적 방법을 쓰면, 직선 y=p(x)의 기울기인 b=(y₁－y₀)/(x₁－x₀)와 방정식 y=p(x)=y₀＋b(x－x₀)를 얻는다.

예를 들어 한 도시인구가 1970년에 30만 4,000명이고 1980년에는 33만 5,000명이라고 하면, 1974, 1987년의 인구는 선형보간으로 추정할 수 있다(1987년에 대한 추정은 보외이다). x₀=1970, x₁=1980, y₀=304, y₁=335(y는 1,000단위로 계산)로 놓으면, b=(y₁－y₀)/(x₁－x₀)=31/10=3.1이고 보간직선은 y=304＋3.1(x－1970)이다.

따라서 x=1974로 놓으면 1974년의 추정인구는 y=316.400명이고, x=1987로 놓으면 이 해의 인구는 356.700명로 추정된다. 또한 후자의 이러한 보외는 직선사영이라고도 한다. 그러나 더 적절한 측정값을 두고 위의 값을 택한다면 어리석은 일이며 2100년 인구를 직선사영으로 추정하거나 1942년 인구를 보외로 구하는 것은 적절하지 않다(후자의 경우 음의 값으로 100만 명의 추정인구가 나옴).

n＋1개의 점 x_i(i=0, ……, n)의 간격이 일정하면 다항식보간은 더 쉽게 계산된다.

x_i＋1－x_i=h로 놓고 1계차 ㅿy_i=y_i＋1－y_i(i=0, ……, n－1), 2계차 ㅿ²y_i=ㅿy_i＋1－ㅿy_i(i=0, ……, n－2) 등을 계산해보자. a₀=y₀, a₁=ㅿy₀, a₂=ㅿ²y₂ 등으로 하면 점 (x_i, y_i)를 지나는 다항식보간은

이다.

이것은 발견자인 아이작 뉴턴의 이름을 따서 뉴턴 공식이라 한다.

이 공식에 대한 예로, 3점 f(3)=1.3106, f(3.1)=1.3200, f(3.2)=1.3310을 주고 f(3. 15)를 2차보간으로 구하는 경우를 생각하자. 여기서 h=0.1, x₀=3이고 y값은 차례로 1.3106, 1.3200, 1.3310이다.

제1계차는 0.0094, 0.0110이고 제2계차는 0.0016이다. 뉴턴 공식에 따라

이다(처음 두 항은 선형근사값 1.3247임).

점 x_i의 간격이 일정하지 않아도 이와 비슷한 공식을 얻을 수 있지만, 계산은 훨씬 더 복잡하다.