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편미분방정식에서 미지함수와 그 도함수가 1보다 큰 지수를 갖지 않고, ff^′나 f^′f^"같이 함수나 그 도함수가 1번 이상 나타나는 항인 교차항이 없으면, 이를 선형편미분방정식이라 한다.

각 항이 함수나 그 도함수 가운데 하나만을 포함하면, 동차(同次)방정식이라 한다. 예를 들어 f^′＋f²=0은 동차이지만 선형은 아니고, f^′＋x²=0은 선형이지만 동차는 아니며, f_xx＋f_yy=0은 선형이면서 동차이다.

만일 2변수 선형동차방정식의 해 f(x,y)가 1변수 함수인 g(x)와 h(y)의 곱으로 이루어져 있다면, 이 방정식의 해는 미지의 합성함수 대신에 이들 1변수 함수의 곱을 대입하여 각 변수에 대한 상미분방정식을 얻음으로써 구할 수 있다.

예를 들면 f(x,y)가 방정식 f_xx＋f_yy=0을 만족할 때 f(x,y) 대신 g(x)h(y)를 대입하면, 방정식은 g_xxh＋gh_yy=0, 즉 －g_xx/g=h_yy/h가 된다. 이때 2번째 방정식의 좌변은 변수 x에만 의존하고 우변은 변수 y에만 의존하므로 양변이 모두 상수일 때만 등식이 성립한다.

따라서 －g_xx/g=c, 즉 g_xx＋cg=0은 1변수 상미분방정식이며 그 해는 g=a sin(xc^1/2) 또는 g=a cos(xc^1/2)이다.

비슷한 방법으로 h_yy/h=c와 h=exp(±yc^1/2)을 얻을 수 있다. 그러므로 원래의 방정식 f_xx＋f_yy=0의 해는 f=gh=a exp(±yc^1/2)sin(xc^1/2) 또는 f=a exp(±yc^1/2)sin(xc^1/2)이다.

이때 a와 c는 임의의 상수이며, 이 방정식의 해가 만족해야 하는 물리적 상황에서의 다른 보조조건(경계값과 초기값)에 의존한다. 다른 상수 a와 c를 갖는 a exp(±yc^1/2)sin(xc^1/2)과 같은 항들의 합도 주어진 미분방정식을 만족한다. 만일 무한 개 항들의 합을 취하면(이런 경우를 '푸리에 급수'라고 함) 해는 더 다양한 보조조건을 만족하며, 이로부터 푸리에 해석학이라는 분야가 나타났다.

변수분리법은 f_xx＋x²f_y=0과 같이 계수가 변수인 방정식, 고차방정식과 다변수 방정식에도 적용할 수 있다.