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ζ(x)로 쓰며, 원래는 무한합 ζ(x)=1＋(1/2)^x＋(1/3)^x＋(1/4)^x＋……로 정의되었다.

x=1일 때 이 급수는 유한합이 존재하지 않으며 조화급수라 한다. x〉1이면, 급수의 합은 일정한 수로 수렴한다. x〈1이면, 합은 무한대로 발산한다. 제타 함수는 1737년 스위스의 수학자 레온하르트 오일러가 알아냈고, 1859년 독일의 수학자 베른하르트 리만(함수에 붙여진 이름)이 폭넓게 연구했다.

실수부가 1이 아닌 임의의 복소수나 실수에 대해 유한값을 갖는 더 복잡한 함수가 연속적인 과정에 의해 정의될 수 있다. 이것이 문헌에서 연구·논의되는 제타 함수이다. 이 함수에 대해 수학자들이 처음에 가졌던 의문 가운데 하나는 함수값을 0으로 만드는 x값은 얼마인가하는 것이며, 제타 함수에 대한 이 물음의 답은 아직까지 없다.

함수는 x가 －2, －4, －6,…… 일 때 0이 되며 실수부가 0과 1 사이에 있는 복소수 집합에 대해서는 0의 값을 무한히 많이 갖고 있다고 알려져 있으나, 어떤 복소수가 0으로 만드는지는 정확하게 알지 못한다. 리만은 실수부가 1/2인 복소수가 함수를 0으로 만들 것이라고 추측했으나, 아직까지는 증명되지 않았다. 수학에서 자주 발생하듯이 이 어려운 문제를 연구하면서 복소수 성질에 대한 지식이 풍부해졌다(→ 리만 가설).