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정삼각형의 높이와 넓이

점 A에서 내린 수선의 발을 점 D라고 하면, =+이므로 a²=()²+h²
h²=a² h= ∴ h=a
△ABC의 넓이=ah=aXa=a²

직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리

직사각형 안에 임의의 점 P를 잡는다. 점 P를 지나고 에 평행인 선을 그어 와 만나는 점을 E, 와 만나는 점을 F라고 하자. 또 점 P를 지나고 에 평행인 선을 그어 와 만나는 점을 G, 와 만나는 점을 H라고 하자. =a, =b, =c, =d라고 하면, =a²+c², =b²+c², =b²+d², =d²+a²이다. 그러므로 +=+

피타고라스보다 앞선 ‘피타고라스의 정리’

고대 이집트인들은 3개의 밧줄에 각각 3 : 4 : 5의 비율로 매듭을 만들고 그 3개의 밧줄로 정삼각형을 만들었다. 이집트인들은 이 삼각형은 반드시 가장 긴 변의 대각이 직각이 된다는 것을 알고 있었다. 서기전 1세기 무렵에 완성된 것으로 보이는 중국의 천문 ・ 수학서인 『주비산경(周髀算經)』에는 3,000여 년 전에 진자(陳子)라는 사람이 고안했다는 ‘진자의 정리’를 적어 놓았다.

이것이 삼국시대 신라에는 ‘구고현법(句股弦法)’으로 알려져 첨성대, 불국사 등을 건축할 때 활용되었다. 3, 4, 5를 활용한 이 구고현의 비례가 고려청자나 거북선 그리고 건축물에도 두루 이용되었으니 과연 우리 민족은 일찍이 수학에 깊은 이해를 가졌음에 틀림없다.

그리스의 수학자 피타고라스의 이름이 붙어 있기는 하지만 피타고라스(서기전 540년경)보다 1,000년 이상이나 앞선 함무라비 왕조 시대의 바빌로니아에서도 이미 이 정리는 유명했다. 피타고라스의 이름이 붙은 것은 최초로 이 정리를 문자화하여 남긴 사람이 피타고라스 학파였기 때문일 것이다.

어린 피타고라스가 장작을 지고 가는데 수학자 탈레스가 장작이 효율적으로 쌓인 모양을 보고서는 피타고라스를 제자로 삼았다는 이야기가 전한다. 피타고라스는 피타고라스 학파를 만들고 수학뿐 아니라 자연과학, 철학 등을 연구했지만 펜타그램(Pentagram)이 갖는 황금비를 신비롭게 여겨 부적처럼 몸에 지니고 다니기도 하는 등 종교적 성향이 강했다. 피타고라스와 그의 제자들은 삼각형의 내각의 합이 180°인 것을 비롯하여 정오각형, 황금분할의 작도법을 증명해냈지만 무리수는 발견하고도 인정하지 않았다.

‘피타고라스의 정리’는 수천 년간 변하지 않은 이론이었지만 공간 개념이 생기면서 맞지 않다는 것을 알게 되었다. 이는 지도를 만들 때의 어려움과 비행기를 타고 갈 때 도착 시간의 최단거리가 지도상의 최단거리와 왜 다른지와 관련이 있다.