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생활 주변에서 다양한 프랙탈 구조를 찾을 수 있다. 프랙탈은 폴란드 태생의 프랑스 수학자 베노이트 만델브로트(Benoit Mandelbrot, 1924~2010)가 세웠다. 만델브로트는 1967년 『사이언스』지에 「영국 해안선의 총길이는 어떻게 되는가」 라는 논문을 발표했다. 구불구불한 해안선의 길이를 잴 때 자의 길이가 짧아질수록 해안선의 길이가 길어지고 정확해짐을 알 수 있다.

프랙탈은 라틴어 ‘fractus’에서 따온 것으로 부서진 상태라는 의미이며, 프랙탈 구조를 지닌 도형은 자기유사성과 순환성이라는 특징이 있다. 분수를 ‘fraction’이라고 하는데 프랙탈의 차원을 구하면 분수가 된다. 만델브로트는 1975년 프랙탈 이론을 확립한 이후에 경제학, 정보과학, 물리학 등 여러 곳에 프랙탈을 적용했다.

다양한 프랙탈 구조

코흐 곡선

1904년 스웨덴의 수학자 코흐((H. von Koch, 1870∼1924)가 고안한 대표적인 프랙탈 곡선이다. 코흐 곡선을 그리는 방법은 먼저 한 개의 선분을 그려 3등분하고, 가운데의 부분을 삭제한 다음 삭제한 부분에 길이가 인 두 변을 정삼각형의 두변처럼 바깥쪽으로 연결하여 그린다. 만들어진 각 변에 대해 위의 과정을 계속 반복한다.

코흐 눈송이

코흐 눈송이는 정삼각형에서부터 출발하여 ‘코흐 곡선’과 같은 방법으로 그린다. 먼저 정삼각형을 그리고, 정삼각형의 각 변을 3등분하여 가운데의 부분을 삭제하고, 삭제한 부분에 길이가 인 두 변을 정삼각형의 두 변처럼 바깥쪽으로 연결하여 그린다. 만들어진 각 변에 대해 위의 과정을 계속 반복한다.

그 밖에도 수학적인 프랙탈은 다음과 같다. 프랙탈 구조와 예술을 접목시켜 신비한 ‘프랙탈 아트’를 만들어냈는데 컴퓨터의 발전 덕에 더욱 발달하게 되었다. 복잡한 패턴 속에 숨어 있는 규칙들이 만들어내는 아름다운 작품을 감상해보자.

우리도 색종이와 가위만 있으면 쉽게 프랙탈 아트를 할 수 있다. 다음은 프랙탈 카드를 만드는 과정이다.

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• 1프랙탈 카드 학생 작품 1
• 2프랙탈 카드 학생 작품 2