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기울기가 m인 접선의 방정식

타원 (a>b>0)의 기울기가 m인 접선의 방정식은

곡선상의 점(x₁, y₁)에서의 접선의 방정식

타원 (a>b>0) 위의 점(x₁, y₁)에서의 접선의 방정식은

타원의 매직

원뿔곡선의 성질과 응용의 기초를 세운 아폴로니우스(서기전 262~190)는 원뿔을 잘랐을 때 생기는 곡선을 체계적으로 정리하여 『원뿔곡선론』을 남겼다. 여기에서 타원은 Ellipse(부족하다), 포물선은 Parabola(일치한다), 쌍곡선은 Hyperbola(초과한다)라는 용어를 처음으로 사용했다.

원뿔을 밑면과 평행하게 자르면 원(Circle)이 되고, 모선과 밑면이 이루는 각보다 작게 자르면 길쭉한 원 즉 타원이 되고, 모선과 평행하게 자르면 포물선이 나오고, 모선과 밑면이 이루는 각보다 크게 자르면 쌍곡선이 된다. 이 곡선들을 원뿔곡선(Conic Curve)이라고 한다.

그럼 실생활에서 타원은 어떤 활약을 하고 있는가? 타원은 한 초점에서 불을 밝히면 또 다른 초점에 빛이 모이게 하는 성질이 있는데, 이 성질을 이용해서 만든 의료 기구에는 신장결석파쇄기가 있다. 이 기구는 수술을 하지 않고도 환자의 신장에 있는 결석을 안전하게 제거해주는 것으로 엑스선 형광 투시경을 이용하여 환자의 신장결석이 타원의 다른 초점에 일치하도록 환자를 고정하고, 충격파를 쏘아 타원체의 면에 반사되어 신장의 결석을 부수는 원리이다.

영국 런던의 세인트 폴 대성당(성 바오로 대성당)의 속삭이는 회랑(whispering gallery)에 가서 한쪽 복도에서 벽에 대고 속삭이면 건너편 복도에서 뚜렷이 잘 들린다고 한다. 이는 속삭이는 회랑이 타원형의 돔 형태의 구조를 가져서 한쪽 초점에서 말한 소리가 사방에 펴졌다가 다른 초점에 모이기 때문이라고 한다. 그래서 공연장이나 뮤직홀을 설계할 때 이 성질을 고려하면 홀 내에 소리가 잘 전달되고, 소리가 잘 조화되는 좋은 공연장이 될 수 있다. 세인트 폴 대성당을 설계한 크리스토퍼 렌(Christopher Wren)은 기하학에 조예가 깊은 건축가라는데, 이런 타원의 성질을 잘 알고 설계한 것으로 보인다.