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확률의 곱셈 정리 1

두 사건 A, B에 대하여 P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)
(단, P(A)＞0, P(B)＞0)

확률의 곱셈 정리 2

두 사건 A, B가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은 P(A∩B)=P(A)P(B)
(단, P(A)＞0, P(B)＞0)

독립과 종속 그리고 배반

두 사건 A, B에 대하여 한 사건이 일어나는 것이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 주지 않을 때, 즉 P(B|A)=P(B|A^c)=P(B) 또는 P(A|B)=P(A|B^c)=P(A)일 때, 두 사건 A, B는 서로 독립이라고 한다. 또한 두 사건 A, B가 서로 독립이면 A^c과 B, A와 B^c, A^c과 B^c도 각각 서로 독립이다.

반대로, 두 사건 A, B가 서로 독립이 아닐 때, 즉 P(A|B)≠P(A) 또는 P(B|A)≠P(B)일 때, 두 사건 A, B는 종속이라고 한다. 두 사건 A, B가 종속이면 사건 A가 일어나는 것이 사건 B가 일어날 확률에 영향을 미친다. 그리고 공사건이 아닌 두 사건 A, B가 서로 배반 사건이면 A, B는 서로 종속이다. 여기서 배반이란 뭘까?

표본공간 U의 두 사건 A, B에 대하여 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 사건을 A∪B로 나타내고, 사건 A와 B가 동시에 일어나는 사건을 A∩B로 나타낸다. 어떤 시행에서 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 즉 A∩B=ø일 때, 사건 A와 B는 배반이라 하고, 두 사건 A, B는 서로 배반 사건이라고 한다. 사건 A와 A의 여사건 A^c에 대하여 A∪A^c은 반드시 일어나는 사건이므로 A∪A^c=S이고, A∩A^c=ø이므로 A와 A^c은 배반 사건이다.

또한 배반 사건과 독립 사건은 자주 혼동되는 용어인데, 서로 전혀 관련이 없다. 독립 사건은 사건 A가 사건 B에 영향을 주지 않는 상태다. 즉, P(A∩B)=P(A)×P(B)를 만족한다. 배반 사건은 공통분모가 없는 상태다. 즉, P(A∩B)=0임을 잊지 말자.