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함수 y=f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f(x)≥0일 때, 곡선 y= f(x)와 x축 및 두 직선 x=a, x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S를 구해보자. 닫힌구간 [a, b]를 n등분하여 양 끝점과 각 분점을 차례로 a=x₀, x₁, x₂, ···, x_n-1, x_n=b라 하고, 각 소구간의 길이를 Δx라고 하면 이다.

위쪽 그림과 같이 n개의 직사각형을 만들고 이 직사각형들의 넓이의 합을 S_n이라고 하면 S_n=f(x₁)Δx＋f(x₂)Δx＋···＋f(x_n)Δx 이다. 그런데 함수 ······ ①
y= f(x)는 닫힌구간 [a, b]에서 연속이므로 n→∞일 때, 즉Δx→0일 때, ①의 극한값은 도형의 넓이 S에 한없이 가까워진다. 따라서 이다. ······ ②

일반적으로 함수 y= f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면 극한값 는 항상 존재함이 알려져 있다. 이때 ②의 값을 f(x)의 a에서 b까지의 정적분(定積分, definite integral)이라 하고, 기호 로 나타낸다. 여기서 a를 정적분의 아래끝, b를 위끝이라고 한다.

이상을 정리하면, 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속일 때 (단, , x_k=a＋kΔx), 부정적분은 함수를 나타내므로 이다. 그러나 정적분의 값은 함수 f(x)와 상수 a, b의 값에 따라 정해지므로 적분변수를 다른 문자로 사용해도 그 값은 변하지 않는다. 즉,