정다면체

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다른 표기 언어 regular polyhedron , 正多面體 동의어 플라톤의 입체도형

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다음 조건을 만족하는 다면체를 정다면체(正多面體, regular polyhedron)라 한다.
• 면이 모두 합동인 정다각형
• 꼭짓점에 모이는 변의 수가 같다.

고대 그리스의 철학자 플라톤은 정다면체의 종류가 다섯 가지라는 것을 발견했다. 그래서 이 정다면체들을 ‘플라톤의 입체도형’이라고도 한다. 정다면체는 과연 다섯 가지밖에 없을까? 다면체의 꼭짓점에서 만나는 다각형의 내각의 합이 360°미만이고, 꼭짓점에 모이는 변의 수가 3개 이상인 정다면체는 다섯 가지로 유일하다.

정사면체	정육면체	정팔면체	정십이면체	정이십면체

정다면체의 종류

정삼각형은 한 내각의 크기가 60°이므로 한 꼭짓점에 모인 면이 6개 이상이면 모인 면의 내각의 크기의 합이 360°보다 크거나 같으므로 입체도형이 될 수 없다. 따라서 각 면이 정삼각형인 정다면체는 한 꼭짓점에 모인 면이 3개, 4개, 5개인 경우뿐이고, 이것은 각각 정사면체, 정팔면체, 정이십면체가 된다.

이와 같은 방법으로 각 면이 정사각형인 정다면체는 한 꼭짓점에 모인 면이 3개인 정육면체뿐이다. 또 각 면이 정오각형인 정다면체는 한 내각의 크기가 108°이므로 한 꼭짓점에 모인 면이 3개인 정십이면체뿐이다. 각 면이 정육각형인 정다면체는 정육각형의 한 내각의 크기가 120°이므로 한 꼭짓점에 모인 면이 3개면 그 합이 360°가 되어 입체도형이 될 수 없다. 따라서 각 면의 변이 6개 이상인 정다각형으로는 정다면체를 만들 수 없다.

종류	정사면체	정육면체	정팔면체	정십이면체	정이십면체
한 꼭짓점에 모인 면의 개수	3	3	4	3	5
꼭짓점의 수 (V)	4	8	6	20	12
모서리의 수 (E)	6	12	12	30	30
면의 개수 (F)	4	6	8	12	20
V-E+F (오일러의 법칙)	4-6+4=2	8-12+6=2	6-12+8=2	20-30+12=2	12-30+20=2

정다면체 종류에 따른 특징

다면체와 우주

플라톤(Platon, 서기전 427~347)은 세상은 불, 물, 공기, 흙 네 가지 원소가 완벽한 수학적 질서로 균형을 이루고 있다고 생각했고, 이 원소들은 가장 완벽한 입체인 정다면체로 되어 있다고 믿었다. 가장 가볍고 날카로운 원소인 불은 정사면체, 가장 안정된 원소인 흙은 정육면체, 불안정한 원소인 공기는 바람이 불면 돌아가는 정팔면체, 가장 유동적인 원소인 물은 가장 쉽게 구를 수 있는 정이십면체, 마지막 정십이면체는 우주 전체의 형태를 나타내어 12라는 숫자는 동서양을 막론하고 우주와 깊은 관련성이 있다고 생각했다.

정다면체의 각 면의 무게중심을 잡아 이웃한 중심끼리 연결하면 새롭게 정다면체가 만들어진다. 이 다면체를 처음 다면체와 쌍대다면체(Dual-polyhedron)라고 한다. 쌍대다면체는 면의 수와 꼭짓점의 수가 서로 대응되며 모서리의 수는 서로 같다. 정육면체와 정팔면체, 정십이면체와 정이십면체는 쌍대정다면체라고 하고, 정사면체는 그 자신과 쌍대라서 자기쌍대정다면체라고 한다. 쌍대 다면체끼리는 한 면을 이루는 변의 개수와 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 반대이고, 면의 개수와 꼭짓점의 개수도 반대이지만 모서리의 개수는 같다.

정사면체〉 정사면체	정육면체〉 정팔면체	정팔면체〉 정육면체	정십이면체〉 정이십면체	정이십면체〉 정십이면체

쌍대다면체의 종류

정다면체는 그 안에 새로운 정다면체를 계속 만들 수 있는데 이를 정다면체의 순환이라고 한다. 정다면체의 순환 경로는 다음과 같다. 정사면체의 각 모서리의 중점을 연결하면 정팔면체, 정육면체의 4개의 꼭짓점을 연결하면 정사면체, 정팔면체의 각 모서리의 황금비 내분점을 연결하면 정이십면체, 정십이면체의 황금비 사각형을 이용하면 정육면체, 정이십면체의 면의 무게중심을 연결하면 정십이면체가 된다.