백과

이항정리(二項定理, binomial theorem)는 (a＋b)ⁿ의 다항식, 즉 이항(두 개의 항)으로 이루어진 다항식을 전개했을 때 각 항의 계수가 어떻게 얻어지는지에 대한 정리다. 임의의 자연수 n에 대하여 (a+b)ⁿ=의 전개식은 n개의 인수 (a＋b)의 각각에서 a 또는 b를 하나씩 선택하여 곱한 단항식의 합과 같다.

이때 n개의 인수 중 r개의 인수에서 b를 택하고, 남은 (n-r)개의 인수에서 a를 택하여 곱하면 a^n-rb^r이 되고, a^n-rb^r의 계수는 서로 다른 n개에서 r개를 택하는 조합의 수 _nC_r와 같다. 즉, (a＋b)ⁿ의 전개식에서 a^n-rb^r의 계수는 _nC_r이다. 따라서 (a＋b)ⁿ을 전개할 때 등식 (a＋b)ⁿ=_nC₀aⁿ＋_nC₁a^n-1b＋_nC₂a^n-2b²＋···＋_nC_ra^n-rb^r＋_nC_nbⁿ이 성립한다. 이것을 이항정리라고 한다.

(a＋b)ⁿ의 전개식의 각 항의 계수 _nC₀,_nC₁, ···, _nC_r, ···, _nC_n을 이항계수라 하고, 항_nC_ra^n-rb^r을 (a＋b)ⁿ의 전개식의 일반항이라고 한다. 파스칼의 삼각형은 이항계수들을 그대로 옮겨놓은 것이다. (a＋b)ⁿ의 계수가 그리 크지 않을 경우에는 이 파스칼의 삼각형을 이용하여 계수를 구하면 편리하다.

파스칼이 파스칼의 삼각형을 연구한 것보다 더 오래 전에 중국 남송(南宋)의 수학자 양휘(楊輝, 1238~1298)가 이 삼각형에 대해 설명한 터라서 중국에서는 ‘양휘의 삼각형’이라고 부른다. 파스칼의 삼각형에서 (n, r)번째 수는 _nC_r이다. _nC_r로 바꿔보면 이항정리의 모습을 하고 있다.

이항정리 (a＋b)ⁿ=_nC₀aⁿ＋_nC₁a^n-1b＋_nC₂a^n-2b²＋···＋_nC_ra^n-rb^r＋_nC_nbⁿ에서 a=1, b=x를 대입하면 (1＋x)ⁿ=_nC₀＋_nC₁x＋_nC₂x²＋···＋_nC_nxⁿ이다. 이것을 버금 공식(딸림 공식)이라고 하는데, 다음의 공식들을 유도하는 데 중요한 역할을 한다.

• _nC₀+_nC₁+_nC₂＋···＋_nC_n=2ⁿ [x=1]
• _nC₀-_nC₁+_nC₂-···＋(-1)ⁿ-C_n=0[x=-1]
• _nC₀+_nC₂+_nC₄＋···=2^n-1[]
• _nC₁+_nC₃+_nC₅＋···=2^n-1[] 미분하면, n(1+x)^n-1=_nC₁+2_nC₂x＋···＋n_nC_nx^n-1이므로
• _nC₁+2_nC₂+3_nC₃＋···＋n_nC_n=n ・ 2^n-1 [x=1]
• _nC₁-2_nC₂+3_nC₃＋···-n_nC_n=0 [x=-1]