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최대 ・ 최소의 정리

함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면 f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

중간값의 정리

함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고, f(a)≠ f(b)이면 f(a)와 f(b) 사이에 있는 임의의 실수 k에 대하여 f(c)=k인 실수 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.
예) f(x)=x³＋3x-2라고 하면 함수 f(x)는 닫힌구간 [-1, 1]에서 연속이고 f(-1)=-6, f(1)=2이므로 f(-1) f(1)＜0
따라서 f(c)=0인 c가 열린구간 (-1, 1)에 적어도 하나 존재한다. 즉, 방정식 x³＋3x-2=0은 열린구간 (-1, 1)에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

중간값의 정리 증명

중간값의 정리로부터 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고 f(a)f(b)<0이면 f(c)=0인 c가 열린구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다. 따라서 방정식 f(x)=0은 열린구간 (a, b)에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

연속함수의 응용

체코의 수학자 볼차노(B. P. J. N., Bolzano, 1781~1848)는 함수의 연속성을 최초로 엄밀하게 정의했고, 최대 ・ 최소 정리, 중간값의 정리를 증명했다. 연속함수의 개념은 코시가 1821년에 처음으로 도입했다고 한다.

자연 현상이나 우리 생활에서 일어나는 많은 형상은 시간의 흐름에 따라 연속적으로 변화한다. 지구 주변을 돌고 있는 인공위성의 운동 궤도나 지각 변동의 상태는 우리 눈으로 직접 볼 수는 없지만 시간의 흐름에 따른 위치나 상태를 그래프로 나타내면 그래프가 끊어지지 않고 연결된 곡선이 됨을 알 수 있다. 이렇게 연속함수는 자연현상이나 실생활의 여러 문제를 이해하는 데 아주 중요한 개념이 된다.

영화 속에서 어떤 형상이 전혀 다른 형상으로 서서히 변화되는 장면을 본 적 있는가? 그것은 하나의 이미지를 다른 이미지로 연속적으로 변형시키는 디지털 시각효과로 모핑 기법이라고 하는데, 수학적 과정으로 프로그래밍을 한 소프트웨어에 의해 처리된다.

이 영화의 기법에는 연속함수라는 수학의 원리가 숨어 있다. 사람이 늑대로, 여자가 표범으로 전혀 다른 두 이미지 각각에 유사한 지점을 정해 점을 찍고 일대일로 대응시켜 대응된 점을 연결하는 연속함수를 만들면 시작점이 끝점으로 변화되는 모습을 볼 수 있는데 두 사진 사이에 대응하는 점이 많아질수록 자연스러운 형상 변형이 이루어진다.

연속함수를 기본 원리로 하는 모핑 기법은 의학계에서 병이나 바이러스의 진행 과정을 보여주거나, 어린 시절의 얼굴을 토대로 성장한 후의 얼굴을 예측하는 몽타주를 만들 때도 사용된다. 마이클 잭슨의 <블랙 오어 화이트(black or white)> 뮤직비디오를 보면 인종, 성별, 나이 상관없이 자연스럽게 변하는 얼굴을 보며 신기할 따름이었는데, 이것이 연속함수의 성질과 연관이 있다니 참으로 놀랍지 아니한가.

그 밖에도 영화 <트랜스포머>(2007)에서 자동차가 로봇 형상으로 혹은 그 반대로 바뀌거나, 영화 <트와일라잇> 시리즈에서 주인공이 늑대로 변하는 장면 등은 현실에서 불가능한 현상을 모핑 기법을 사용하여 자유자재로 변화시킨 것이다.