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로그의 기본 성질

a≠1, a＞0, x＞0, y＞0일 때,
• log_aa=1, log_a1=0
• log_axy=log_ax＋log_ay
•
• (p, q는 실수)

밑 변환 공식

로그의 밑을 같게 만들어라. a≠1, a＞0, b＞0일 때,
• (c≠1, c>0)
• (b≠1)

상용로그

밑이 10인 로그를 상용로그(common logarithm)라 하고, 밑을 생략한다.

• logN=n＋a일 때, n은 정수, 0≤a＜1이다. 이때 n을 지표, a를 가수라고 한다. n＞0인 정수면 N은 n＋1 자리수고, n=0이면 N은 한 자리수고, n＜0인 정수면 N은 소수점 아래 n자리에서 처음으로 0이 아닌 수가 나타난다.
예) log31.4=1.4969=1＋0.4969이고, 1은 지표, 0.4969는 가수다.
log0.0314=-1.5031=-1-0.5031=-2＋0.4969이고, -2는 지표, 0.4969는 가수다.

• 가수의 성질 : 숫자의 배열이 같고 소수점 위치만 다른 수의 상용로그의 가수는 모두 같다.

로그함수

지수함수 y=a^x (a≠1, a＞0)의 역함수 y=log_ax (a≠1, a＞0)를 a를 밑으로 하는 함수를 말한다.

로그함수와 지수함수

천문학이 발달되면서 행성 간의 거리 계산이나 질량을 계산하게 되었고, 사용된 수는 엄청나게 큰 수일 수밖에 없었다. 영국의 수학자 존 네이피어(John Napier, 1550~1617)는 이런 천문학자들의 불편을 최소화할 수 있는 로그(log)를 발명했다. 그리스어인 logos(비율)와 arithmos(수)의 합성어인 로그(log)는 거듭제곱과 함께 큰 수를 간단하게 나타낼 수 있는 효율적인 방법이었다. 존 네이피어가 로그를 만든 것은 많은 천문학자들이 행성을 연구하는데 큰 도움을 주었다.

존 네이피어는 아주 뛰어난 수학자는 아니었지만 등비수열을 등차수열로 바꾸는 로그를 만들어낸 것으로 수학사에 영원히 이름을 새겨 넣었다. 그는 자동으로 곱셈, 나눗셈, 제곱근을 구하는데 사용하는 ‘네이피어의 막대’ 또는 ‘네이피어의 뼈’라고 알려진 도구를 발명했다.

오늘날의 눈으로 보면 별것 아닌 것으로 생각되겠지만 아무리 간단한 것도 남들보다 먼저 처음으로 생각해내는 일은 아무나 할 수 있는 것이 아니다. 네이피어의 막대는 구구단을 적은 것에 불과하지만 이 간단한 막대가 곱셈을 덧셈으로 바꿔주기에 복잡한 계산을 간단하게 할 수 있다.

로그함수 발견에는 아름다운 우연 하나가 있다. 덴마크 천문학자 티코 브라헤가 폭풍우 때문에 천문대에 묵게 된 영국의 왕자에게 이 계산법을 소개해주었다. 이를 눈여겨 본 것은 왕자의 주치의인 존 크레이그였고, 그는 그의 친구인 존 네이피어에게 알려주어 그 후 네이피어는 20년을 연구하여 새로운 개념인 로그를 제안하고 로그함수의 개념과 계산표를 제시했다. 그 후 오일러가 로그 함수를 기반으로 지수함수를 제안한 것이다. 교과서에는 지수함수, 로그함수 순으로 나오지만 발견 순서는 반대라는 것이 재미있다.