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요약 구(球. sphere)는 한 정점(중심)으로부터 같은 거리(반지름)에 있는 점들로 이루어진 3차원의 도형이다. 수학에서의 구는 속이 비어 있는 ‘구면’을, 공은 속이 차 있는 ‘구체’를 가리키는 말이다.

중심 C의 좌표가 (a, b, c)이고 반지름의 길이가 r인 구의 식은 다음과 같이 구할 수 있다. 구면상의 점 P(x, y, z)를 보면 (일정)이므로 양변을 제곱한 (x-a)²＋(y-b)²＋(z-c)²=r²이 구의 방정식의 표준형이다.

구의 방정식 (x-a)²＋(y-b)²＋(z-c)²=r²을 전개하여 정리하면 x²＋y²＋z²＋Ax＋By＋Cz＋D=0이 되고 이 식을 구의 방정식의 일반형이라고 한다. 일반형을 변형하면 이므로 중심이 , 반지름의 길이가 인 구의 방정식이 된다.

구의 방정식 구하기

구의 비밀

중심이 C(a, b, c)인 좌표평면에 접하는 구의 반지름은
• 구가 xy평면에 접할 경우 r =｜c｜
• 구가 yz평면에 접할 경우 r =｜a｜
• 구가 zx평면에 접할 경우 r =｜b｜ 이다.

구면에 그림을 그려보자. 평범한 그림이 아닌 특별한 문양의 그림이다. 평면을 같은 모양으로 채워나가는 것을 평면 테셀레이션(tessellation, 쪽매맞춤)이라 하고, 구를 같은 모양으로 채워나가는 것을 구 테셀레이션이라 한다.

평면에서의 정삼각형과 구면에서의 정삼각형은 구분된다. 평면에서 정삼각형의 내각의 총합은 180°이지만 구면에서는 180°보다 크다. 구면이 휘어져 있어서 구면에 그려진 정삼각형도 휘어져 있기 때문이다. 네 면이 정삼각형으로 이루어진 정사면체를 구 안에 넣어 구의 중심에서 빛을 쏘면 구 표면에 생기는 그림자가 다음과 같이 구 표면에 그려진 그림과 같다.

구 테셀레이션

2014 브라질 월드컵 공인구 ‘브라주카(brazuca)’는 6개의 바람개비 조각으로 만들어진 공이다. 역대 최소 조각 수이자 최초의 구 테셀레이션이기도 하다. 축구공 조각을 줄이는 것은 완전한 구형에 가깝게 만들어 공의 불규칙성을 줄이고 정확한 패스를 통해 기술적 흥미를 높이기 위해서다.

브라주카(brazuca)

2014년 브라질 월드컵 공인구

브라주카 만들어보기

브라주카 그리기의 시작은 구에 내접한 정팔면체의 꼭짓점을 찾는 것에서부터 시작된다. 아래 공식에 따라 정팔면체의 한 변의 길이를 먼저 구하자. 그런 다음, 아래의 순서에 따라 브라주카를 그려 보자.

정팔면체 한 변의 길이 구하는 공식

정팔면체 한 변의 길이 a=r
r=공의 반지름

	① 스티로폼 구의 지름을 재서 정팔면체 한 변의 길이를 구한다. 그리고 컴퍼스로 사진과 같이 원을 그린다.
	② 삼각형 한 변의 중심과 삼각형의 중심을 표시한다. 적당히 눈대중으로 찾아 표시해도 된다.
	③ 삼각형 중심에서 꼭짓점까지 선분을 긋고, 선분의 지점에서 바람개비 모양을 사진과 같이 그린다.
	④ 삼각형의 꼭짓점과 중심을 이은 선분을 접선으로 활용해 바람개비 모양으로 둥글게 그린다.
	⑤ 테두리 선을 중심으로 십자 모양의 바람개비 모양을 그린 후, 색칠하면 브라주카 그리기 완성!