오일러의 곱셈 공식

오일러의 곱셈 공식(Euler product formula)은 디리클레 급수(Dirichlet series)를 모든 소수에 대한 무한곱으로 표현한 것이다. 리만 제타 함수의 경우를 증명한 오일러의 이름을 딴 것으로 오일러 곱(Euler product)이라고도 한다.

일반적으로, 다음과 같은 형태의 디리클레 급수가 있다고 하자.

$\sum _{n}a(n)n^{-s}\,$

여기서 $a(n)$는 곱셈적 함수(multiplicative function)이다. 이 급수는 다음과 같이 쓰일 수 있다.

$\prod _{p}P(p,s)\,$

여기서 $P(p,s)$는 다음 급수가 된다.

$1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .$

이는 산술의 기본 정리 때문에 성립하는 것이다. 특히, $a(n)$이 완전 곱셈적(totally multiplicative)일 경우 $P(p,s)$는 무한등비급수(geometric series)가 되므로 다음 등식이 성립하게 된다.

$P(p,s)={\frac {1}{1-a(p)p^{-s}}}$

리만 제타 함수의 경우 $a(n)=1$이 된다.

예

레온하르트 오일러는 바젤 문제를 해결하면서 리만 제타 함수가 오일러 곱과 등치함을 증명하였다. 오일러의 곱셈 공식은 1737년 상트페테르부르크 학술원에서 출판된 그의 논문 〈무한 급수의 다양한 관찰〉(라틴어: Variae observationes circa series infinitas)에 수록되었다. 오일러가 증명한 리만 제타 함수의 무한곱이 가장 유명하므로 리만 제타 함수의 무한곱을 오일러 곱이라 지칭하는 경우도 많다.

오일러의 증명

오일러의 곱셈 공식에 대한 오일러의 증명은 다음과 같다. $1$보다 큰 임의의 복소수 $s$에서, 리만 제타 함수는 다음과 같이 정의된다.

$\zeta (s)={1 \over 1^{s}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots$

양변에 ${\frac {1}{2^{s}}}$를 곱하면 $a^{s}\cdot b^{s}=(a\cdot b)^{s}$이라는 지수법칙에 의해

${\frac {1}{2^{s}}}\zeta (s)={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+\cdots$

이 성립한다. 첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼면 좌변은 $\zeta (s)-{\frac {1}{2^{s}}}\cdot \zeta (s)=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\cdot \zeta (s)$로 정리되고 우변에는 홀수의 $-s$제곱 항만이 남게 되므로

$\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\cdot \zeta (s)=1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots$

을 얻는다. 이제 위의 결과에 ${\frac {1}{3^{s}}}$를 곱하면

${\frac {1}{3^{s}}}\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\cdot \zeta (s)={\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{15^{s}}}+\cdots$

이므로, 이 결과를 위 식에서 빼면

$\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\cdot \zeta (s)=1+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots$

이 되며 우변의 분모에서 $3$의 배수가 모두 사라진다. 이 작업을 모든 소수 $p$에 대하여 계속 반복하면

$\cdots \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{11^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\zeta (s)=1$

을 얻는다. 지수법칙에 의해 ${\frac {1}{p^{s}}}=p^{-s}$이므로, 위 식은

$\prod _{p{\text{ prime}}}(1-p^{-s})\cdot \zeta (s)=1$

과 같이 정리할 수 있다. 이제 좌변에 $\zeta (s)$만을 남기고 모든 인수를 우변으로 이항하면,

$\zeta (s)=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}$

와 같이 오일러의 곱셈 공식을 유도할 수 있다. 이 증명법은 에라토스테네스의 체에 기초한 증명 방법이다.

오일러의 곱셈 공식과 관련된 상수들

아래는 오일러의 곱셈 공식과 관련된 상수들이다.

• 란다우-라마누잔 상수

$K={\frac {\pi }{4}}\prod _{p=1\,{\text{mod}}\,4}\left(1-{{1} \over {p^{2}}}\right)^{1 \over 2}$

• 쌍둥이 소수 상수

$C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;{\rm {prime}} \atop p\geq 3}}\left(1-{{1} \over {(p-1)^{2}}}\right)$

• 펠러-토르니어 상수

$C_{FT}={1 \over 2}+\left({1 \over 2}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{2} \over {p_{n}^{2}}}\right)\right)$

• 마이셀-메르텐스 상수

$B_{2}=\left(\sum _{n=1}^{\infty }\left(\ln \left(1-{{1} \over {p_{n}}}\right)+{{1} \over {p_{n}-1}}\right)\right)+\gamma$

• 알틴 상수

$C_{A}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{1} \over {P_{n}(P_{n}-1)}}\right)$

• 케어프리 상수(carefree constant)

$K_{1}=\prod _{p}\left(1-{{2p-1} \over {p^{3}}}\right)$

• 바반 상수

$C_{B}=\prod _{p}\left(1+{{3p^{2}-1} \over {p(p+1)(p^{2}-1)}}\right)$

• 이차 유수 상수 또는 이차 수체 유수 상수(Quadratic Class Number Constant)

$\prod _{p}\left(1-{{1} \over {p^{2}(p+1)}}\right)$

• 스티븐스 상수

$\prod _{p}\left(1-{{p} \over {p^{3}-1}}\right)$

• 타니구치 상수

$\prod _{p}\left(1-{{3} \over {p^{3}}}+{{2} \over {p^{4}}}+{{1} \over {p^{5}}}-{{1} \over {p^{6}}}\right)$

• 무라타 상수

$\prod _{p}\left(1+{{1} \over {(p-1)^{2}}}\right)$

• 니븐 상수

$C_{Niven}=1+\sum _{s=2}^{\infty }\left(1-{{1} \over {\zeta (s)}}\right)$

$\zeta (s)$는 리만 제타 함수

• 해프너-사낙크-맥컬리 상수

$D(n)=\prod _{k=1}^{\infty }\left\{1-\left[1-\prod _{j=1}^{n}\left(1-{{1} \over {p_{k}^{j}}}\right)\right]^{2}\right\}$

• 란다우 토션트 상수(Landau's totient constant)

$\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={{\zeta (2)\zeta (3)} \over {\zeta (6)}}={\frac {315A}{2\pi ^{4}}}$

$A=\zeta (3)$은 아페리 상수

• 사르낙 상수(Sarnak's constant)

$\prod _{p>2}\left(1-{\frac {p+2}{p^{3}}}\right)=0.723648...$ (OEIS의 수열 A065476)

같이 보기

• 리만 제타 함수
• 베른하르트 리만
• 레온하르트 오일러
• 수학 상수