2가지 사건 A, B가 있을 때, 이들 둘은 다음 4가지로 생각할 수 있다.

① A와 B가 일어난다.

② A가 일어나고 B는 일어나지 않는다. ③ A는 일어나지 않고 B가 일어난다. ④ A도 B도 일어나지 않는다. 여사건 A^c, B^c를 사용해서 위의 각 경우를 사건으로 나타내면, 각각 ① A∩B, ② A∩B^c, ③ A^c∩B, ④ A^c∩B^c이 된다.

A가 일어났을 경우를 가정해 보면 가능성이 있는 것은 ①과 ②의 경우뿐이다. 관점을 바꾸어 A를 전체사건이라고 생각하면 여기서 B와 B^c이 차지하는 비율은 각각 P(A∩B)와 P(A∩B^c)에 비례하기 때문에 전체사건의 확률을 1로 하면, A가 일어났을 때 B, B^c의 조건부 확률은,

P_A(B)=P(A∩B)/P(A),

P_A(B^c)=P(A∩B^c)/P(A)

이다(당연히 P(A)=0일 때는 제외). 기호 P_A(B)는 P(B/A)라고도 쓰며 이 기호를 이용하면 A와 B가 일어날 확률, 즉 P(A∩B)는 P(A)P_A(B)와 같다.

3가지 사건 A, B, C가 있을 때 P_A(B), P_B(C)등과 A와 B가 일어났을 때 C의 조건부 확률 P_A∩B(C)=P(A∩B∩C)/P(A∩B)등을 정의할 수 있다.

예를 들어 항아리 속에 같은 크기를 지닌 공이 40개 들어 있다고 하자. 이중 14개는 빨간색이고 26개는 파란색이다. 또 이들 공은 무거운 것과 가벼운 것 2가지 중 1가지 재질로 되어 있으며 빨간 공은 8개가, 파란 공은 10개가 무겁다.

항아리는 암실 속에 있고 손으로 무거운 공 하나를 집어냈을 때, 이것이 빨간 공일 확률은 (빨갛고 무거울 확률)/(무거운 확률)=(8/40)/(18/40)=4/9이다.

또 밝은 곳에서 공을 만지지 않고 빨간 공을 하나 골랐을 때 이것이 무거운 공일 확률은(빨갛고 무거울 확률)/(빨간 공일 확률)=(8/40)/(14/40)=4/7이다. 이들 확률은 40개의 기본사건으로 된 확률공간에서 각각 무거운 공을 골랐거나, 빨간 공을 골랐다는 조건하에서 빨간 공이나 무거운 공이 선택되는 조건부 확률이다. 배반사건의 열 H₁, H₂, ……, H_n이 있고 그 합을 전체사건이라고 하자. 임의의 사건 A에 대해 관계식 P(A)=P(A∩H₁)＋P(A∩H₂)＋……＋P(A∩H_n)과 P(A∩H_i)=P(A)P(H_i/A)=P(H_i)P(A/H_i)를 이용해 P(A∩H_i)/P(A)를 다시 쓰면,

을 얻을 수 있다.

이것을 베이스의 정리라고 한다.

조건부 확률의 특별한 경우로서 사건 A와 B가 독립인 경우 P_A(B)를 생각해보자. P(A∩B)=P(A)P(B)이므로, P_A(B)=P(B)가 되며, 마찬가지로 P_B(A)=P(A)도 성립한다.

3가지 사건 A, B, C가 독립일 때, P_A∩B(C)=P(C), P_B∩C(A)=P(A), P_C∩A(B)=P(B)가 성립한다.

또P_A(B)=P(B)이므로 P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)가 성립하며 독립성을 정의한 식과 일치한다.

여기서 다음과 같은 합사건에 대한 공식도 나온다.

P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(A∩B)

P(A∪B∪C)=P(A)＋P(B)＋P(C)－P(A∩B)－P(B∩C)－P(C∩A)＋P(A∩B∩C)

이것은 그림에서 쉽게 알 수 있다.