무한대는 수가 아니라 상태를 의미한다. n→∞이고, 수열 a_n→∞과, b_n→∞이며, →∞이면, 수열 a_n은 b_n보다 고위(高位)의 무한대, 수열 b_n은 a_n보다 저위(低位)의 무한대라고 한다. 또 및 모두가 유계(有界)이면 수열 a_n과 b_n은 동위(同位)의 무한대라고 한다.

무한대의 신비와 수학의 본질

1655년 옥스퍼드 대학의 존 윌리스(John Wallis) 교수가 처음으로 ∞를 무한대의 의미로 사용했다. 윌리스는 ∞를 무한대 기호로 선택한 이유를 따로 설명하지 않았지만, 사람들은 1000을 나타내는 옛 로마 숫자 CI 또는 C에서 유래했을 것으로 추측했다. ∞가 그리스의 알파벳 오메가(ω)에서 유래했다는 설도 있는데 이것은 오메가가 흔히 끝을 상징하는 알파벳이고, ∞와도 그 모습이 비슷하기 때문이다. 1713년 베르누이(J. Bernoulli)가 사용하면서 일반화되었다.

독일의 수학자 힐베르트(david hilbert, 1862~1942)는 무한대가 지닌 신비한 성질을 이용해 지구가 아닌 무한한 우주에 위치한 ‘힐베르트 호텔’을 광고했다. 이 호텔에는 무한개의 객실이 있다. 어느 날 호텔에 한 손님이 찾아왔는데 객실이 무한개 있음에도 불구하고 방마다 모두 투숙객이 있어 빈 방을 내줄 수 없었다.

그런데 호텔 종업원인 힐베르트는 잠시 생각한 후에 객실로 올라가 모든 투숙객에게 옆방으로 한 칸씩 이동해주길 부탁했다. 투숙객들은 모두 옆방으로 옮겼고, 새로 온 손님은 비어 있는 1호실로 들어갔다. 무한대에 1을 더해도 여전히 무한대이기 때문이다.

그런데 다음 날 무한대의 손님들이 새로 도착했고 객실은 모두 차 있었다. 힐베르트는 이번에 투숙객들에게 묵고 있는 객실 번호에 2를 곱해서 그 번호에 해당되는 객실로 옮겨주길 부탁했다. 그래서 1호실 손님은 2호실로, 2호실 손님은 4호실로, 3호실 손님은 6호실로, ······ 이동했다.

모든 객실 손님들이 이동을 하고 호텔에는 1호실, 3호실, 5호실, ······ 등 모든 홀수 번호의 무한개의 빈 객실이 생겼다. 힐베르트의 호텔에 새로 도착한 무한대의 손님들은 홀수 번호에 붙어 있는 무한개의 객실로 모두 배정되었다. 왜냐하면 무한대에 2를 곱해도 여전히 무한대이기 때문이다.

게오르크 칸토어(Georg Cantor, 1845~1918)는 집합론을 연구했는데 무한의 개념을 설명하기 위해서였다. 그는 집합간의 일대일 대응을 중요하게 생각했고 계속된 연구로 자연수보다 실수가 훨씬 많음을 증명해냈다. 또한 자연수도 무한개이고 실수도 무한개인데 무한한 두 집합끼리 빼도 여전히 무한개임을 설명했다.

하지만 그 당시의 수학자들에게는 비난의 대상이 되었고, 그리하여 칸토어는 홀로 수많은 비판자와 싸워야 했으며 결국은 정신병원에서 사망했다. “수학의 본질은 자유에 있다”고 말한 칸토어처럼 상식을 뒤집어 생각을 전환할 때 위대한 발견을 할 수 있다.