피라미드에 사용된 삼각법

피라미드 건축물이 보여주는 것처럼 이집트인들은 삼각법에 대해 어느 정도의 지식을 갖추고 있었다. 아메스 파피루스에는 피라미드의 높이와 바닥에 따른 세케드(seked, 또는 기울기)를 찾는 문제가 나와 있다. 이 파피루스에서 세케드는 현대의 기울기 측정법의 역비율로 표현되어 있다.

이집트인들이 삼각법에 대한 지식을 갖고 있긴 했지만 삼각형에 대한 철저한 연구가 이루어졌던 것은 아니다. 이들은 순수하게 삼각법에 관심을 가지기보다는 다른 수학 분야와 마찬가지로 삼각법을 실용적으로 응용하는 것에 더 큰 흥미를 나타냈다.

고대 인도의 수학자들 또한 삼각법이라고 할 만한 것에 대해 알고 있었다. 〈술바수트라스〉에서 제단을 설명하는 부분에 sin π/4(45°)를 1/√2로 계산한 내용이 나와 있다. 이렇게 이집트인들과 인도인들이 삼각법에 대해 어느 정도 알고는 있었지만, 삼각함수를 제대로 발달시킨 것은 그리스인이었다.

360도 회전

그리스인들은 직선과 원을 기하학의 기본으로 삼아 삼각함수를 발달시켜나갔다. 원이 360도인 것과 1도가 60분인 것은 그리스 수학에서 기원한 것이다. 이것은 비티니아의 히파르코스 시대(190~120BC년 경)부터 사용한 것으로 보이며, 바빌로니아에서 황도를 천문학적으로 12별자리 또는 36데칸으로 나눈 것과 매년 계절이 반복되는 주기를 약 360일로 잡은 것에서 기원한 것으로 보인다.

바빌로니아인들이 사용했던 이 우수한 시스템은 이집트인들이나 그리스인들이 사용했던 것보다 훨씬 쓸모가 많았다. 그리고 프톨레마이오스는 바빌로니아의 60진법을 받아들여 1도를 60분으로, 1분을 60초로 나눴다.

구면 삼각법과 평면 삼각법

평면 삼각형이 평면에 그려지는 데 반해, 구면 삼각형은 구(球)의 면에 그려진 삼각형이다. 이것은 구나 구를 잘라낸 면에 그려진 교차되는 원호 세 개로 이루어진 삼각형이다.

최초로 구면 삼각형을 정의한 것은 이집트인인 알렉산드리아의 메넬라우스였다(AD100년 경). 그는 유클리드의 평면 삼각법에 적용되는 원칙을 똑같이 구면 삼각형에 적용했다. 구면 삼각형은 천문학이나 지도를 제작하는 데 필수적이었다. 평면 삼각형의 세 각을 합치면 항상 180도가 되지만, 구면 삼각형의 세 각을 합치면 항상 180도 이상이 된다. 이 외에도 구면 삼각형과 평면 삼각형 사이에는 근원적인 차이점들이 있다.

1250년경까지만 해도 구면 삼각형은 언제나 천문학과 연결돼 있었다. 나지르 알딘 알투시는 최초로 구면 위에 있는 여섯 개 유형의 직각 삼각형 목록을 만들었고, 최초로 삼각법을 별개의 분야로 다루었다. 그는 현재 사용하고 있는 형태의 구면 삼각법을 개발해냈다.

삼각함수 표

히파르코스는 최초로 삼각함수 표를 만들었다. 그가 관심을 가졌던 것은 구로 이루어진 밤하늘에 ‘그려져 있는’ 상상 속의 삼각형이었다. 그 결과 행성의 위치를 계산하고 예측할 수 있었다. 히파르코스는 한 원 안에 각각의 삼각형이 그려져 있다고 생각해서 현^각주1) 의 길이로 각도를 계산하는 시스템을 개발해냈다. 그는 다른 크기의 각도를 그려서 생겨난 현의 길이를 모아놓은 표를 만들었다. 이것은 현대의 사인과 코사인 개념과 연관된다.

그리스 천문학자인 클라우디오스 프톨레마이오스는 히파르코스의 연구를 발전시켜 더 나은 삼각함수 표를 내놓았고 역함수 아크사인(역사인함수)과 아크코사인(코사인의 역함수)을 그의 천문학 저서인 《알마게스트(Almagest)》에 정의해놓았다.

그는 임의의 반지름 길이 60을 삼각함수 표의 기본으로 삼고 0°에서 180°까지 1/2°가 달라질 때마다 수치 변화를 기록해놓았다. 이것은 0°에서 90° 사이에서 1/4°가 변화될 때마다 사인 값을 기록해놓은 표와도 같다. 프톨레마이오스는 유클리드의 공리를 채택해서 지구 주변을 회전하는 천체의 모델을 만들기 위해 평면 삼각형에 몰두했다.

프톨레마이오스는 알렉산드리아에서 활동했다. 그의 삶에 대해서는 자세한 기록이 남아 있지 않다. 그의 선조들이 그리스에서 살았을 가능성도 있다. 그의 연구는 중세 시대 유럽에 전파된 삼각법에 대한 가장 오래된 연구이며 오랜 기간 동안 사용되었다. 그가 제시한 천체 모델은 수정을 거치지 않고 오랫동안 사용되었는데, 이후에 폴란드 천문학자인 코페르니쿠스가 태양계 중심에 태양이 자리 잡은 모델을 내놓았다.

사인(Sine)

그리스인들에 뒤이어 인도와 아랍 수학자들도 삼각법에 대해 연구했다. 아랍의 학자들은 그리스인들의 연구를 번역하고 완전히 익혀서 곧 그것을 넘어섰다. 인도 수학자들은 대부분 기존의 인도 수학에 매달리고 있었기 때문에 이집트와 바빌로니아의 수학은 개인적인 연구 대상이었다.

인도의 수학자들은 최초로 현재 우리가 정의 내리고 있는 방식의 사인을 도입했다. 4세기 초반, 또는 5세기 초반쯤에 인도의 천문학 논문인 《수리야 싯단타(Surya Siddhanta)》에서 저자는 3.75°에서 90°에 해당하는 사인 함수를 3.75° 간격으로 계산해놓았다. 이 글의 작성 시기는 알려져 있지 않지만 기원전 2,163,101년에 태양의 신이 이 책을 직접 건네주었다고 한다(현존하는 판본은 서기 400년경에 만들어진 것으로 보인다).

아리아바타 1세가 쓴 《아리아바티야(Aryabhatiya)》는 6세기 전반의 인도 수학을 요약한 책인데, 여기에 사인 표가 포함되어 있다. 브라마굽타 또한 628년에 모든 각도에 대한 사인 표를 만들었다.

최초의 탄젠트와 코탄젠트 표는 860년경 페르시아 천문학자인 알하시브 알마르와지가 만들었다. 시리아 천문학자인 알바타니는 그림자를 측정해서 수평선 위 태양의 높이를 찾아내는 규칙을 내놓았다(해시계는 이 규칙에 의해 작동한다). 그의 그림자 표는 1°에서부터 90°에 이르기까지 1° 간격으로 코탄젠트 값을 제대로 보여준다. 또한 지구 중심축의 기울기가 23° 35′이라는 것을 계산해냈다. 알바타니의 연구를 통해 사인이 유럽에 전파되었다. 그의 발견은 아리아바타의 연구 결과와는 상관없이 독자적으로 이루어진 것으로 보인다.

페르시아의 수학자이자 천문학자인 아부 알와파 알부차니는 삼각법을 주로 연구했지만 그 연구 결과의 대부분은 사라졌다. 그는 탄젠트 함수를 사용해서 삼각함수 표 계산법을 개선시켰으며, 구면 기하학에 해당하는 사인 공식도 밝혀냈다.

달의 움직임에 대한 알부차니의 연구 업적을 기리기 위해 달에 있는 한 분화구에 그의 이름을 붙였다. 아랍 수학자들은 천문학 연구를 위해서만 계속 삼각함수 표와 삼각법을 개선해나갔고, 이것은 13세기에 알투시가 마라게에 있는 자신의 천문대에서 삼각법을 독립된 학문으로 확립시킬 때까지 계속되었다.

알투시의 제자인 알쉬라지가 무지개를 수학적으로 설명해낸 것은 초기에 나타난 발전 중 하나이다. 몽골의 정복자 티무르 대제의 손자인 울르그 베그는 15세기 초반에 사마르칸트에 천문대를 세우고 호의 1분 단위로 사인과 탄젠트 표를 만들어냈다. 이 값은 60진법 소수의 다섯 자리까지 정확한 수치이다. 이것은 지금까지 수학에서 가장 위대한 업적 중 하나라고 할 수 있다.

메카의 방향을 찾아서

아랍에서 기하학과 측량술이 발전하게 된 원동력은 어디에서든 메카의 방향을 알아내려던 독실한 이슬람교도들 때문이었다. 이슬람교도들은 코란에 나온 대로 성스러운 도시를 향해 기도하기 위해서 자신이 어디에 있건 메카의 방향을 찾을 수 있어야 했다. 메카의 방향을 알아내기 위한 방법을 생각하던 아랍의 기하학자들은 원뿐만 아니라 직선에도 그려지는 원을 가지고 구형의 표면에 평면적인 이미지를 만들어내는 입체 투사를 도입했다. 이것은 아폴로니오스와 프톨레마이오스가 처음으로 사용한 것이다.

9세기부터 아랍인들은 아스트롤라베를 완성시켰다. 이것은 원래는 고대 그리스에서 고안된 천문학 기계이다. 아스트롤라베에는 동심원을 이루는 금속 링에 해와 달, 별과 행성이 새겨져 있었다. 지루할 정도로 많은 계산을 하는 대신 링을 움직이기만 하면 됐다. 아스트롤라베는 천문학, 시간 기록, 측량, 항해와 삼각 측량 등에 사용될 수 있었다.

삼각형에 관한 그리스와 아랍의 지식들은 11세기에 많은 아랍 서적들이 라틴어로 번역되면서 유럽으로 전파된다. 유럽인들은 아스트롤라베를 열광적으로 좋아했고 18세기에 육분의^각주2) 가 개발되기 전까지 가장 중요한 항해 장비로 자리매김했다.

중세에서 현대로

중세 유럽의 학자들은 삼각함수와 기하학에 관한 아랍과 그리스의 연구를 번역하기는 했지만, 여기에 자신들만의 연구 결과를 더하지는 않았다. 르네상스 운동으로 유럽에서 과학과 수학이 폭발적으로 발전하고 나서야 삼각함수도 다시 발전하기 시작했다.

레기오몬타누스라고도 알려진 요하네스 뮐러 폰 쾨니히스베르크(1436~76년)는 온전히 삼각함수만을 다룬 최초의 책인 《모든 종류의 삼각형에 관하여(On Triangles of Every Kind)》를 집필했으며, 이것은 1533년에 출판되었다. 평면과 구면의 삼각함수를 계산하는 데 필요한 모든 공식을 집대성해놓은 이 책은 많은 찬사와 더불어 영향력 있는 책이 되었다.

폴란드의 위대한 천문학자인 코페르니쿠스는 쾨니히스베르크의 연구 결과를 태양이 중심에 위치한 태양계의 새로운 모델에 적용시켰다. 코페르니쿠스는 프로이센의 수학자인 게오르크 레티쿠스의 도움을 받아 연구했다.

레티쿠스는 쾨니히스베르크의 연구에서 더 나아가 마침내 삼각형에 관한 삼각법을 만들어냈다. 그는 삼각함수를 원의 호로 생각하는 기존의 낡은 방법을 버리고 삼각형을 별도로 분리하여 생각했다. 그는 여섯 개의 모든 삼각함수를 세세하게 계산한 표를 만들었다. 그리고 훨씬 더 정확한 한 세트의 삼각함수 표를 만드는 일에도 착수했다. 하지만 이것을 완성시키지 못하고 사망한다(이것은 그의 제자들 중 한 명이 완성했다).

이러한 발달은 삼각법과 전반적인 기하학이 새롭게 전환되기 직전에 이루어졌고, 이후에 대수학과 관련되어 대수 기하학의 진화가 천천히 시작된다. 이러한 근본적인 변화로 인해 삼각법은 점점 더 이론적이 되었고 애초에 삼각법이 생기게 된 현실 세계의 도형과는 분리되었다. 이후 삼각법에 허수와 복소수까지 도입된다.

하지만 동시에 삼각함수는 점차 실용적으로 활용되었다. 정확한 시계를 만들거나 더 나은 항해 방법과 포를 사용한 무기를 만드는 데, 그리고 광학에 새로이 적용시키거나 천문학이 발전하는 데 삼각법의 응용이 필수적이었으므로 삼각법은 새로운 방향으로 발달하게 된다.

죽음의 삼각형

갈릴레오 갈릴레이(1564~1642년)는 포물체^각주3) 의 움직임이 포물선을 이루기 때문에 수평 운동과 수직 운동으로 나누어질 수 있다는 것을 발견했다. 그래서 공기의 저항은 무시한 상태에서, 대포나 다른 포를 이용한 무기의 이동 범위를 계산할 수 있는 공식을 만들었다.

g는 중력으로 인한 가속도(약 9.81m/s²)
v₀는 포구 속력(대포알이 대포에서 나올 때, 또는 총알이 총에서 나올 때의 속력)
A는 포가 쏘아 올려지는 각도
A가 45°일 때 최대 이동 범위가 구해진다.

이야기는 계속된다

삼각형과 원은 수학의 역사에서 뗄래야 뗄 수 없는 존재였다. 그리고 갈릴레오가 포물체에 대해 연구하면서 또 다른 곡선인 포물선이 수학의 역사에 등장한다.

원과 곡선, 공간 안에서 물체가 회전하면서 만들어지는 회전체로 인해 평면상의 직선을 다루던 기하학은 새로운 국면에 접어들어 공간의 개념을 다루게 된다. 원, 곡선과 더불어 사람들은 무한대의 개념(이는 고대 수학자에게 대단한 골칫거리였다)을 받아들이기 시작한다. 그 결과 기하학은 2차원뿐만 아니라 3차원을 넘어서 고차원으로 뻗어나갈 수 있었다.