미적분학은 특별한 점에서의 곡선의 기울기를 어떻게 계산하는가에 대한 연구로 시작되었다. 기울기를 구하기 위해서는 두 개의 점의 좌표가 필요하다(기울기 참조).

곡선의 기울기를 구하는 비법은 아래 그래프의 파란색 점과 같이 곡선의 두 점을 지나는 할선을 생각하는 것에 있다. 할선이 짧아질수록 할선의 기울기는 접선(녹색 선)의 기울기에 가까워진다.

만약 x=5에서의 접선의 기울기를 계산하려면 할선이 지나는 점이 접점으로 가까이 갈수록 할선의 기울기가 접선의 기울기에 점점 가까워지는 것을 볼 수 있다.

곡선 위에 x=5에 매우 가까우면서 x좌표가 x+h인 또 다른 한 점 x₂를 생각하자.

우리는 곡선의 식을 이용하여 이 점의 y좌표를 계산할 수 있다.

y₂=(x+h)²=x²+2xh+h²

(할선의 기울기)=

(x₁, y₁)=(x, x²)이므로

(기울기)==2x+h

이 기울기의 극한을 계산해보자.

(접선의 기울기)=(할선의 기울기)=(2x+h)

따라서 h가 영으로 가까이 갈수록 우리는 원하는 기울기를 얻게 된다. 그런데,

(2x+h)=2x

이다. 따라서 x=5에서 접선의 기울기는 2×5=10이다.

수학자들은 모든 함수에 대하여 이것을 다음과 같이 나타낸다.

=

좌변의 기호 ‘´’를 보자. 이것은 함수 f(x)의 도함수라는 뜻이다. 즉, 이 함수는 원래의 함수로부터 유도되었다. 함수 y에 대하여 이것의 도함수를 다음과 같이 나타낸다.