접선

접선은 곡선 위의 임의의 한 점을 지나는 직선이다(그림의 녹색 선 참조). 곡선 위의 각각의 점에는 서로 다른 접선이 있다. 극점에서의 접선은 그림에서의 빨간색과 같이 수평선이다.

접선의 기울기는 직선의 기울기와 마찬가지 방법으로 계산할 수 있다.

연립방정식

커피숍에서 두 친구와 함께 주문을 했다. 한 명은 7달러를 내고 카푸치노 한 잔과 머핀 두 개를 샀다. 또 다른 친구는 15달러를 내고 카푸치노 세 잔과 머핀 세 개를 샀다. 카푸치노 한 잔과 머핀 한 개의 가격은 각각 얼마일까?

카푸치노 한 잔은 3달러, 머핀 한 개는 2달러이다. 이것을 시행착오를 통해서 계산할 수도 있지만 이것은 대수 문제이니 카푸치노 한 잔의 값을 x, 머핀 한 개의 값을 y라고 하자.

두 친구의 상황을 식으로 나타내면 다음과 같다.

x+2y=7 (식 1)
3x+3y=15 (식 2)

이 방정식에서 x 또는 y를 소거하여 풀 수 있다.

먼저 처음 방정식의 양변에 3을 곱하는 것으로 시작해보자. 양변에 모두 곱하므로 등식은 계속 성립한다.

3x+6y=21 (식 3)

이제 두 방정식 모두 3x라는 항이 생겼다.

다음 단계로 진행해보자. 식 3에서 식 2를 빼자. 이 과정에서는 다음과 같이 식 3의 모든 항에서 식 2의 모든 항을 빼야 한다.

3x-3x+6y-3y=21-15

이 식을 정리하면 다음을 얻는다.

3y=6

양변을 3으로 나누면 y=2이다. 즉, 머핀 한 개의 값은 2달러이다. 이제 식 1 또는 식 2에 y=2를 대입하면 x=3이 되고, 카푸치노 한 잔의 값으로 3달러가 나온다.

연립방정식 풀기

아래는 연립방정식을 푸는 순서이다. 이 순서대로 하기 위해서는 미지수의 개수와 방정식의 개수가 같아야 한다.

연립방정식을 푸는 네 단계

아래의 과정은 항상 같다.

1. 두 방정식에 계수가 같은 항이 생기도록 한 방정식에 적당한 수를 곱한다.
2. 한 방정식에서 다른 방정식을 빼어 미지수 하나를 소거한다.
3. 남은 미지수의 값을 계산한다.
4. 이 값을 원래의 방정식에 대입하여 또 다른 미지수의 값을 구한다.

이차방정식 풀기

가끔 방정식이 인수분해되지 않는 경우에는 다른 방법으로 풀 수 있다. 아래의 예를 보자.

x²+4x-2=0

위 식은 인수분해되지 않지만, 우리에게는 다른 방법이 있다.

x의 계수 4를 2로 나누어 2를 얻은 후, 제곱하여 다시 4를 얻는다. 이 수를 양변에 더한다.

x²+4x+4-2=4

처음 세 개의 항을 (x+2)²으로 다시 쓴다.

(x+2)²-2=4

양변에 2를 더하면

(x+2)²=6

양변에 제곱근을 취하면

x+2=±

따라서 다음 근을 얻는다.

x=±-2

계산기를 누르면 x의 값이 0.449와 –4.449(소수점 아래 세 자리까지)임을 알 수 있다.

[참고: 기호 ±는 제곱근이 양수일 수도 있고 음수일 수도 있음을 나타낸다. 이차방정식에는 항상 근이 2개 있다.]

퀴즈 풀기

Q. 한 소년이 말했다. 2년 전에 아버지의 나이는 내 나이의 4배였다.소년의 아버지가 말했다. 3년 후에, 나는 내 아들 나이의 3배가 된다.아들과 아버지는 각각 몇 살일까?

(도움말 : 아들과 아버지의 나이를 각각 B, F로 나타내어라.)

2년 전 나이: F-2=4×(B-2)=4B-8, F=4B-6
3년 후 나이: F+3=3×(B+3)=3B+9, F=3B+6
두 식을 연결하면 4B-6=3B+6을 얻는다.
따라서 B=12.
현재 아들이 12살이므로 아버지의 나이는 42살이다.