정의

사실, 모든 닮은 삼각형에서는 각의 크기가 변하지 않는다. 특별한 각에 대해서 상수로 고정되는 값들을 사인, 코사인, 탄젠트라고 부른다. 그리고 다음과 같이 정의한다.

각 A의 사인=sin A=

각 A의 코사인=cos A=

각 A의 탄젠트=tan A=

한 각의 크기와 한 변의 길이를 안다면, 위의 식을 사용하여 나머지 모든 변의 길이를 계산할 수 있다. 사인, 코사인, 탄젠트를 기억하기 위해 사대빗-코이빗-탄대이라고 외울 수도 있다. 사는 사인, 코는 코사인, 탄은 탄젠트, 대는 대변, 빗은 빗변, 이는 이웃하는 변을 말한다.

사인, 코사인, 탄젠트의 값

0도와 360도 사이에서 사인과 코사인의 그래프는 오목한 부분과 볼록한 부분이 있는 부드러운 곡선인 반면, 탄젠트의 그래프는 상당히 낯설다. 탄젠트의 그래프는 90°, 270°에 가까이 갈수록 무한대를 향해 질주한다. 이 그래프들은 360°보다 큰 각에 대해서는 주기적으로 반복된다.

사인과 코사인의 그래프가 비슷하다는 것을 알아차렸는가? 사실, 90°만큼 평행이동하면 두 그래프는 완전히 포개어진다.

그 밖의 삼각함수와 삼각방정식

좀 더 드물게 등장하는 삼각함수는 사인, 코사인, 탄젠트의 역수로 된 함수이다. 이것을 각각 시컨트(sec), 코시컨트(cosec), 코탄젠트(cot)라고 한다.

삼각함수를 제곱한 형태는 A²의 사인 또는 코사인과 혼란을 피하기 위해서 조금 특별한 모양으로 나타낸다.

sin²A=sinA×sinA
cos²A=cosA×cosA

삼각방정식

Q. 대변의 길이가 5.77㎝이고 이웃하는 변의 길이가 10㎝인 직각삼각형이 있다. 이웃하는 변과 빗변 사이의 각은 몇 도일까? 삼각형에서 어떤 각의 크기를 알면, 대변과 빗변 사이의 각을 구할 수 있을까?

A=
tan A==0.577

삼각항등식

Q. 두 각 A=30°, B=45°를 생각하자. 이전에 배운 삼각함수의 값과 삼각함수 사이에 성립하는 관계식을 이용하여 sin15°, cos15°, sin75°, cos75°를 구할 수 있을까?

sin30°=0.5, sin45°=0.707
cos30°=0.866, cos45°=0.707 이므로,

sin15°=sin(45°-30°)=sin45° cos30°-cos45° sin30°
=(0.707×0.866)-(0.707×0.5)=0.259

cos15°=cos(45°-30°)=cos45° cos30°+sin45° sin30°
=(0.707×0.866)+(0.707×0.5)=0.966

sin75°=sin(45°+30°)=sin45° cos30°+cos45° sin30°
=(0.707×0.866)+(0.707×0.5)=0.966

cos75°=cos(45°+30°)=cos45° cos30°-sin45° sin30°
=(0.707×0.866)-(0.707×0.5)=0.259