삼각형 용어

삼각형의 꼭짓점에는 보통 A, B, C와 같이 알파벳 대문자로 이름을 붙이는데, 그 꼭짓점에서의 내각도 같은 이름으로 부르기도 한다.

이제 삼각형 ABC에 대해서 알아보자. 직각삼각형에서, 가장 긴 변을 빗변이라고 한다. 삼각비를 이용할 때, 삼각형의 한 내각을 알고 있다. 그 각의 옆으로 이어진 변을 이웃하는 변, 남은 한 변을 대변이라고 한다. 아래 그림은 각 A를 알고 있다고 전제하고 변의 이름을 말한 것이다.

피타고라스의 정리

그리스의 수학자 피타고라스는 삼각형의 세 변의 길이에 관한 그의 이름을 딴 정리로 유명하다(이 정리는 그 이전부터 알려져 있었다).

피타고라스의 정리는 오직 직각삼각형에서만 성립하는데, 짧은 변의 길이의 제곱의 합이 가장 긴 변의 길이의 제곱과 같다는 것이다.

짧은 두 변의 길이가 3㎝와 4㎝이면 3²=9이고 4²=16이므로 두 수를 더하면 25이다. 피타고라스는 우리에게 가장 긴 변의 길이의 제곱이 25, 즉 5²과 같으므로 가장 긴 변의 길이는 5㎝임을 말해준다.

증명하기

위의 파란색 삼각형의 넓이는 a와 b의 곱을 2로 나눈 값이다. 가운데 있는 흰 정사각형의 한 변의 길이는 b에서 a를 뺀 값이다. 그러므로 오른쪽 그림의 넓이는 파란색 삼각형 4개와 흰 정사각형의 넓이를 더한 것으로 아래와 같다.

4×+(b-a)(b-a)

이 식은 다음과 같이 간단히 정리할 수 있다.

2ab+b²-2ab+a²
즉, a²+b²

그런데 큰 정사각형(네 개의 파란색 삼각형과 한 개의 흰 정사각형을 합친 것)의 한 변의 길이는 c이고, c와 c의 곱은 c²이므로

c²=a²+b² 이다.

이것이 피타고라스의 정리를 나타내는 식이다. 수학에서 문자로 수를 대신하는 분야를 대수(대수의 기원 참조)라고 한다. 우리가 여기에서 한 일은 피타고라스의 정리가 변의 길이에 상관없이 성립한다는 것이다. 이런 과정을 수학적 증명이라고 한다(증명 참조).